1、第二节 对面积的曲面积分,定义1 对于空间曲面, 如果上任意一点都有切平面, 当切点连续变动时, 切平面也连续转动, 此曲面称为光滑曲面.,本节下面所研讨的一系列问题皆与本章第一节所述问题完全类似.,一、对面积的曲面积分的定义,二、 对面积的曲面积分的性质,三、对面积的曲面积分的计算,四、对面积的曲面积分的应用,把曲面分成n片小曲面, 这些小曲面为S1,S2, ,Sn, Si也表示Si的面积(i=1,2,n).,一、对面积的曲面积分的定义,设有一曲面形构件, 它所占位置的空间曲面见图9-4,面密度为连续函数u=f(x, y, z), 利用分割、作和、取极限的方法求该构件的质量.,在Si上取点
2、Mi(i, i, i), 称Si任意取两点间距离的最大值为Si的直径,则曲面形构件的质量为,式中为n片小曲面直径中的最大值.,图9-4,定义2 设是光滑曲面, 函数u = f ( x, y, z ), 在上有界,分为n片小曲面, 这些小曲面为S1, S2, , Sn, Si 也表示Si 的面积 ( i =1, 2, , n ).,如果,存在, 则称该值f ( x, y, z )在上的对面积的曲面积分, 也称为第一型的曲面积分, 记成,在Si上取点Mi(i, i, i), 记为n片小曲面直径的最大值.,其中f ( x, y, z ) 称为被积分函数, 称为积分曲面.,如果是闭合曲面上的积分, 又
3、可记成,定理1 当f ( x, y, z )在光滑或分段光滑曲面上连续时,存在.,二、 对面积的曲面积分的性质,设下面所涉及的曲面积分是存在的, 则有下述性质,性质1 设k为常数, 则,性质2,性质3 将分成1 与2, 则,k为常数, A为的面积.,性质4,性质5 若在上 f ( x, y, z ) g ( x, y, z ), 则,性质7 当 f ( x, y, z )在光滑曲面上连续时, 必有 (, , )在上, 使得,性质6 在上若没m f ( x, y, z ) M, 则,其中A表示的面积.,三、对面积的曲面积分的计算,定理2 设曲面: 在z = z ( x, y ), 它在xOy面上
4、的投影区域为Dxy, z = z ( x, y ) 在Dxy上具有连续偏导数, f ( x, y, z ) 在上连续, 则有公式,如果曲面投影到yOz或 zOx面, 则有下述计算曲面积分的公式,定理3 设 f ( x, y, z )与满足定理 2 的条件, 若 f ( x, y, z ) = f ( x, y, - z ), 关于xOy对称, 1表示的位于xOy面上方的部分, 则有,若f ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) , 则有,例1 求,其中为平面,中解出,在第一卦限中的部分.,将在xOy面上投影区域记为Dxy, 如图9-5,图9-5,例2 求,其中 : x2 + y
5、2 = R2, 0 z h (R 0),解法1 把分成前后两部分1与2, 则Dyz: - R y R, 0 z h,解法2 面积的微分dS = 2Rdz,故,设有一分布着质量的光滑曲面, 在点 ( x, y, z )处的面密度为连续函数f ( x, y, z ), 利用微元分析法不难推得下面各公式.,四、 对面积的曲面积分的应用,质量,设重心为,则,转动惯量,式中Ix, Iy, Iz, Io, 分别表示曲面对x轴, y轴, z轴以及原点的转动惯量.,例3 求抛物面壳的质量,此壳面密度为 = z.,所求质量为,故所求转动惯量为,例4 求面密度为常数 0的半球壳 x2 + y2 + z2 = a2 (0 z)对于z 轴的转动惯量.,作业,P89 1、2、5、6,
