1、1.6 理想气体微观描述的初级理论,1.6.1 理想气体微观模型要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。 一、实验证实对理想气体可作如下三条基本假定: （一）分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。估计几个数量级： （1） 洛施密特常量标准状况下1m3 理想气体中的分子数，以n0表示。 标准状况下1mol气体占有22.4 1。则,洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明： 人每次呼吸量约为0.4升,即410-4 m3， 有410-42.71025个分子,约1022 个分子，而地球上全部大气约有1044个分子（可从习题2.6.3中估计出）。 故一个分子与人体一次呼吸呼出的分子数的比例关系恰
2、如一次呼吸量中的分子总数与整个地球大气分子总数之间的比例关系。,（2）标准状况下气体分子间平均距离 标准状况下1m3 理想气体中分子数: n0 = 2.71025 / m3 每个分子平均分配到自由活动空间体积为 1 / n0 。为什么? 标准状况下气体分子间平均距离为:,(3)氮分子半径,已知液氮（温度为 77K，压强为 1atm）的密度为 ，氮的摩尔质量 Mm = 2810-3kg。设氮分子质量为m，则 Mm = NAm， = n m ,其中n为液氮分子数密度。1/n 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。,若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑分子间空隙，则 1/n =(4/3)r3
3、其中r 是氮分子半径。于是得,比较分子之间平均距离和分子直径:,可以看到标准状况下理想气体的两邻近分子间平均距离约是分子直径的10倍左右。,另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起，可估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大103数量级。需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些近似假设。,例如在前面估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分子,液氮中氮分子之间没有间隙,或者按照密堆积而组成。看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似不会改变数量级的大小，因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是10的指数，故作这种近似假设完全允许。,以上是对理想气体微观模型所作三条基本假定中的第一条:,理想气体微观模型
4、所作第二条基本假定是:,对理想气体分子两次碰撞之间作自由匀速直线运动的质疑.,以上就是理想气体微观模型的三条基本假定。对于平衡态的一般气体（不一定是理想气体）还满足另外一条基本假定:分子混沌性假定。 处于平衡的气体均具有各向同性， 即气体在各方向上的物理性质都相同，反之称各向异性。,理想气体微观模型所作第三条基本假定是:,气体的各向同性与分子混沌性：,由气体的各向同性可知,平衡态的气体都有分子混沌性。,对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模型基础上利用统计物理证明。,最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但实验指出:,1.6.2 单位时间内碰在单位面积器壁上 平均分子数,由于大数粒子的
5、无规热运动，气体分子与容器器壁发生频繁碰撞。但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定统计规律。下面讨论:,在气体状态一定时，其 应恒定不变。,这里是一种最简单的求气体分子碰壁数 的方法。先作两条简化假设: （1)设处于平衡态下的理想气体分子沿+x，-x，+y，-y，+z，-z 6个方向作等概率运动。若气体分子数密度为n，任何一个单位体积中垂直指向 +x，-x，+y，-y，+z，-z 6个方向运动的平均分子数均为 n/6 。,（2)假设每一分子均以平均速率运动。 显然t 时间内,所有向-x方向运动的分子均移动了距离,在上述 2 条假定基础上来考虑气体分子对 x,y 容器壁平面的碰撞。,t 时
6、间内碰撞在A 面积器壁上的平均分子数N 等于图中柱体内向下运动的分子数。,单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数为,以后在2.5中还将专门讨论气体分子碰壁数及其应用，而在2.5.1中将用较严密的方法导出，所得结果为,说明差异不大。 另外要注意：上述 2 公式适用于平衡态理想气体。,例1.2设某气体在标准状况下的平均速率为 500 m/s,试分别计算1s内碰在1cm2面积及10-19 m2 面积器壁上的平均分子数。 解 标准状况下气体分子的数密度n0 = 2.71025 /m3 故,气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截面积的大小范围内（10-19m2），1s内还平均碰上4.5108次。,
7、比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未产生数量级的偏差。这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭示了事物主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是可取的。,将下面两个公式,1.6.3 理想气体压强公式,（一）理想气体压强公式气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平均总冲量。 这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的，所施予的力也是恒定不变的。与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程度的模型来推导理想气体压强公式。这里介绍类似前面的最简单的方法，在2.5.1中，将再作较严密的推导。,上节中曾假定，单位体积中均各有 n/6 个分子以平均速率向 x, y, z 6个方
8、向运动，因而在t 时间内垂直碰撞在 y-z 平面的A 面积器壁上的分子数等于以A 为底, 以,为高的柱体内所有向A 运动的分子的总数，,因为每个分子与器壁碰撞是完全弹性的,每次碰撞产生的动量改变了,单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故,即向器壁施予冲量,下标rms为root mean square的缩写，它表示方均根。 后面我们会看到理想气体确实有这样的近似关系,因为,推导中利用了平均速率近似等于均方根速率的条件，即,有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强公式仍然是,可见由这种近似所产生的误差较小。,（二）气体分子平均平动动能,为每个气体分子的平均平动动能（ 其中下标 t 表示平
9、动），即,早在1857年，克劳修斯（Clausius）即得到这一重要关系式。,它们都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动能或均方速率）之间的关系。,必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部，对于理想气体，这两种压强的表达式完全相同。将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强，因为气压计本身就是一个器壁。气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引入无关。请考虑思考题1.19。,最后还要强调:,气体分子碰壁数及气体压强公式均适用于平衡态下的气体。 布
10、朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨落使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗运动。 只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上压强必处处相等。,（三）理想气体物态方程的另一形式 p = nkT,理想气体物态方程可改写为pV = RT = NAkTp = (NA/V )=( N/V )kT = nkT 其中 k 称为玻耳兹曼常量 。R 是描述1mol气体行为的普适常量， k 是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量，这是奥地利物理学家玻耳兹曼（Boltzmann)于1872年引入的。 这是理想气体方程的另一重要形式，也是联系宏观物理量（p，T）与微观物理量（n）间的一个重要公式。,普适常量 k
11、, G, e, h, c,（四）压强的单位,1.6.4 温度的微观意义,（一）温度的微观意义从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运动程度强弱的度量。将 p = nkT 与,比较可得分子热运动平均平动动能,它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。,是分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不包括整体定向运动动能。只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改变运动方向而成无规则的热运动，定向运动动能转化为热运动动能后，所转化的能量才能计入与绝对温度有关的能量中。 问题:宇宙飞船发射升空过程中,速度越来越快,飞船中的气体温度是否在不断升高?,（2）粒子的平均热运
12、动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关。,应该指出： （1）,方均根速率的例题:,例1.3试求 T = 273K 时氢分子的方均根速率及空气分子的方均根速率。 解,氢分子的方均根速率,空气分子的方均根速率,1eV 的热运动平均平动能量：,例1.4 在近代物理中常用电子伏特（eV）作为能量单位，试问在多高温度下分子的平均平动动能为1eV？ 1K温度的单个分子热运动平均平动能量相当于多少电子伏特？ 解 1eV = 1.60210-19 J, 1eV = 7.74103 K 热运动平均平动能1K 温度的热运动平均平动能量= 1.2910-4 eV。,问题： 氢原子基态电子具有-13.6 eV能量，试问氢原子电离需要多高数量级的温度。太阳中心的温度为1.5107 K,试问在太阳中心,氢原子将以什么形态出现?,理想气体公式的小结:,
