1、例9-25 求微分方程组,解: 由第一个方程两边求导 代入第二个方程中: 特征方程: r2-1=0, r=1,第五节 微分方程组,例9-26 求微分方程组满足初始条件 x|t=0=1, y|t=0=0 的特解.解: 由 (1) 得:,由特征方程 r2-2r+1=0 求得特征根 r1=r2=1故有通解 x=(C1+C2t)et代入(9-33)方程的通解为代入初始条件 x|t=0=1, y|t=0=0 ,得 C1=1, C2=2,例9-27 已知 B 鱼只以 A 鱼为食物, A 鱼的食物为小虫. 假设这两种鱼的食物总是充分的, 求这两种鱼共同生活时其数量的变化规律.,解 用 x(t) 和 y(t)
2、分别表示 t 时刻 A 鱼和 B 鱼的数量。假设两种鱼单独生活，则,两种鱼共同生活时，沃尔特拉-洛特卡(Volterra-Lotka)的捕食方程,第二方程除以第一个方程：,分离变量：,到了中晚期, 生长速率将逐渐减慢. 肿瘤体积关于时间的变化率 , 不是常数, 而是时间的函数. 可以认为 的变化率与 的值成正比.,(0)=0 , V(0)=V0,例9-28 肿瘤在早期阶段的生长过程, 可以用指数生长模型来描述. 肿瘤体积随时间增加而迅速增大.,解方程:,由第二个方程求得: (t)= 0e-t . 代入第一个方程得,第八节 微分方程在药学中的应用,数学模型: 根据研究对象的内在规律运用适当的数学
3、工具建立的一种数学结构. 这种结构通常为描述所研究系统(或过程)动态规律的方程.化学动力学、药物动力学、酶动力学、数理流行病学步骤：建模模型参数估计模型检验改进进行估计、预测、调控,一、微分方程在化学动力学中的应用,（一）单分子反应在单分子反应 AB 中，如果化学反应的速度与反应物的量 x(t) 成正比, 则称此化学反应为一级反应,分离变量得:,ln x 与时间 t 呈线性关系反应物的量 x0 减少到 x0/2 所需要的时间 t1/2 称为半衰期一级反应: 放射性衰变, 一些药物的水解, 部分药物在体内的吸收、分布、代射和排泄的时间过程,(二) 化学合成反应,在化学合成反应 A+BC 中, 化
4、学反应速度与两反应物浓度的乘积成正比. 若反应物 A 与 B 的初始浓度分别为 a 和 b, 并设生成物 C 在时刻 t 的浓度为 x(t),若 ab, 分离变量得,满足初始条件的特解:,反应物 A 与 B 在时刻 t 的浓度为:,(2) 若 a=b, 则,分离变量后, 两边定积分,得,反应物浓度 (a-x) 的倒数是时间 t 的线性函数,反应物 A 与 B 在时刻 t 的浓度为:,(三) 连串反应,设反应物 A、B、C 在时刻 t 的量分别为 x(t) 、 y(t)、z(t). A、B、C 的初始量为 a, b, 0.,由初始条件:,代入第二式：,代入第三式：,二、微分方程在药物动力学中的应
5、用,药物动力学 (pharmacokinetics) 是应用动力学原理和数学方法, 定量地研究药物通过各种途径进入机体后的吸收、分布、代谢和排泄等过程的动态变化规律的一门学科. 当药物进入机体后, 其在体内某一部位的药物减少速率与该部位药物浓度 C 的关系可表示为,称药物在体内的变化符合N 级速率过程。 一级速率过程：抗生素类，磺胺类等药物 0级速率过程：恒速静脉滴注给药,(一) 一室模型,将机体看作一个动力学上同质的单元, 就得到一室模型.它适用于给药后, 药物能在血液及各种组织间很快分布, 并迅速达到平衡的情况.Vd 为表观分布容积 D/CD(t) 表示体内的药量.,把机体视为一个系统,
6、系统内部按动力学特点分为若干个隔室(房室).分成一室、二室及多室等模型.,1. 快速静脉注射,则有 D(t)=D0e-kt 血药浓度 C(t)=D(t)/Vd=C0e-kt 血药浓度的对数 ln C 与时间 t 呈线性关系 当 t 时, 反映了药物的最终吸收程度,2. 恒速静脉滴注,当 t 时, 称为稳态血药浓度.,解得,3.血管外给药,口服、肌肉注射、栓剂给药等多种给药方式. 机体为房室, 代表吸收部位为吸收室,初始药量为D0 , F (0F1) 称为生物利用度,血药浓度函数,由 C (x)0 求得驻点：,由上式, 达峰时 tm 与药物的吸收速率 ka 及消除速率常数 k 有关, 与给药剂量
7、 D0 无关;,在驻点取极大值 Cmax.达峰时为,峰浓度 Cmax与给药剂量 D0 成正比.,(二) 二室模型,如果将机体分为两个房室, 其中代表血液及血流灌注充沛的器官(肝、肾等)和组织的称为中央室, 代表其它器官、组织的称为周边室, 得到二室模型.,解得中央室的药量为: Dc=Ae-t+Be-t,由第一个方程,代入第二个方程得,Vc 为中央室的静观分布容积，则血药浓度,由初始条件：,(三) Michaelis-Menten非线性药物动力学模型,其中 C 为时刻 t 的血药浓度, Vm 为该过程在理论上的最大速度, km 为常数.,药物的主动转运、肝脏的代谢、胆汁的分泌及肾小管的分泌，都需要酶或载体的参与,分离变量得:,取 C=C0/2, 则得半衰期,将微分方程改写为:,当 t =0 时, C=C0, t =+ 时,28,作业: P337 30-34, 37.,
