1、3.3 泰勒(Taylor)公式,问题的提出泰勒中值定理简单应用,P139,一、问题的提出,（如下图）,在微分中我们讲过，当 很小时，,误差为,上式表明函数 f (x)在 x0的附近可用一个线性函数来近似。且当 很小时， 误差,也很小。,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,三、泰勒(Taylor)中值定理,证明:,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,1.说明:,2.麦克劳林(Maclaurin)公式Talyor公式特例,或,四、Talyor公式简单的应用,解,代入公式,得,由公式可知,估计误
2、差,其误差,思考：e x=?,常用函数的麦克劳林公式, 位于 x 与 1之间。,例2,直接展开法,解：,解,播放,小 结,播放,思考题,1. 利用泰勒公式求极限,思考题解答,思考题,证明: f(a)=A0, f(x)二阶可导, Xa, 使f(X)0, f(x)在a,+)上连续, 至少(a,X)a,+ ) 使f()=0.,唯一性证明: 方法一,方法二(反证法) 若f(x)=0有两个根: x1x2, 由罗尔定理知,作业： P145：2、4、5、9-（1）、10-（2）,世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于 年月日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。年
3、后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在年 月日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是年出版的正 的和反的增量方法，书内以下列形式陈述出他已于 年月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理泰勒定理：式内为独立变量的增量， 及 为流数。他假定随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而成 的，当时便称作马克劳林定理。年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证
4、明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 年，他出版了另一名着线性透 视论，更发表了再版的线性透视原理（） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用没影点概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于年。,泰勒(2004-02-06),五、小结,五、小结,五、小结,五、小结,五、小结,回,
