1、第一章 多项式,3 带余除法,一、带余除法,1.竖式除法,例 设,f (x) = 3x3 + 4x2 5x + 6 ,g(x) = x2 3x + 1 .,求f(x)除以g(x)的商和余式,2.带余除法,带余除法 对于 Px 中任意两个多项式 f (x),与 g(x) ，其中 g(x) 0，一定有 Px 中的多项式,q(x) , r(x) 存在，使,f (x) = q(x) g(x) + r(x) (1),成立，其中 deg ( r(x) ) deg ( g(x) ) 或者 r(x) = 0 ，,且这样的 q(x) , r(x) 是唯一决定的., 若,则令,结论成立, 若,证：,当 时，,结论
2、成立,下面讨论 的情形，,假设对次数小于n的 ，,结论已成立,先证存在性,次数为时结论显然成立,设 的首项为,的首项为,则 与 首项相同，,因而，多项式,的次数小于n或 f1为0,若,由归纳假设，存在,使得,现在来看次数为n的情形,若,其中,或者,于是,成立,的存在性得证,由归纳法原理，对,再证唯一性,若同时有,和,则,即,其中,其中,矛盾,所以,从而,唯一性得证,但,带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x),的商， r(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的余式.,二,综合除法,可按下列计算格式求得：,这里，,的形式,说明：,综合除法一般用于,例1求 除 的商式和
3、余式,性质：多项式 除以 的余式为,三、整除,1. 定义,定义 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除,f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式,f (x) = g(x) h(x),成立.,我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，,说明:,所得的商可表成,任一多项式 f (x) 都整除零多项式 0，即f (x) | 0 ；,零次多项式能整除任一个多项式，即c | f (x) ;,由定义， 有 f (x) | f (x) ；,零多项式只能整除零多项式。,定理1,2整除的判定,3整除的性质,时， 与 有相同的因式和倍式,1) 若 ，则,证：,使得,使得,若,则,皆为非空常数,3) 若,（整除关系的传递性）,4) 若,注：反之不然如,但,5) 整除不变性：,两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变,例3求实数 满足什么条件时多项式,整除多项式,
