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高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.1.ppt

1、2018/10/18,数学与计算科学学院,第五章 二次型,5.1 二次型的矩阵表示,5.2 标准形,5.3 唯一性,5.4 正定二次型,章小结与习题,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,一、n元二次型,二、非退化线性替换,三、矩阵的合同,四、小结,5.1 二次型的矩阵表示,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,解析几何中,选择适当角度,逆时针旋转坐标轴,(标准方程),中心与坐标原点重合的有心二次曲线,问题的引入:,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,代数观点下,作适当的非退化线性替换,只含平方项的多项式,二

2、次齐次多项式,(标准形),2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,一、n元二次型,1、定义:设P为数域,,称为数域P上的一个n元二次型,n个文字 的二次齐次多项式,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,注意,2) 式 也可写成,1) 为了计算和讨论的方便,式中 的系数,写成,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,1) 约定中aij=aji,ij ,由 xixjxjxi,有,2、二次型的矩阵表示,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,则矩阵A称为二次型 的矩阵.,2018/10/185.

3、1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,于是有,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,注意:,2)二次型与它的矩阵相互唯一确定,即,正因为如此,讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.,若 且 ,则,1)二次型的矩阵总是对称矩阵,即,(这表明在选定文字 下,二次型完全由对称矩阵A决定.),2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,例1 1)实数域R上的2元二次型,3)复数域C上的4元二次型,它们的矩阵分别是:,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,二、非

4、退化线性替换,1、定义:,是两组文字,,关系式,称为由 的一个线性替换;,若系数行列式|cij|0,则称为非退化线性替换.,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,它是非退化的.,系数行列式,例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度,即变换,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,2、线性替换的矩阵表示,则可表示为X=CY 若|C| 0,则为非退化线性替换.,注,2)若XCY为非退化线性替换,则有非退化线性替换 .,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,即,B为对称矩阵.,3、二次型经过非退化线性替换仍为二次

5、型,事实上,,是一个 二次型.,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,三、矩阵的合同,1)合同具有,对称性:,传递性:,即C1C2可逆.,反身性:,注:,1、定义:设 ,若存在可逆矩阵,使 ,则称A与B合同.,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,3)与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.,2)合同矩阵具有相同的秩.,2、经过非退化线性替换,新二次型矩阵与,A与B合同.,二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型YBY,进而,有:,C可逆,原二次型矩阵是合同的.,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,例2 证明:矩阵A

6、与B合同,其中,一个排列.,证:作二次型,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,故矩阵A与B合同.,对 作非退化线性替换,则二次型化为(注意 的系数为 ),2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,练习 写出下列二次型的矩阵,其中,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,答案,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,-,-,4. 解:,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,四、 小结,n元二次型:,非退化线性替换:,,或X=CY, |C| 0.,基本概念,矩阵的合同:,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,基本结论,1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.,3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.,2、二次型XAX可经非退化线性替换化为二型YBY,

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