1、福州大学数学与计算机科学学院江飞:183 0595 0592,记,记,（3）张力在 轴方向上的合力为：,另一方面,附：牛顿第二定律方法,故,微分中值定理,1.叠加原理（思想：化繁为简，大道至简）,2 达朗贝尔（dAlembert）公式、波的传播,福州大学数学与计算机科学学院江飞:183 0595 0592,*物理上叠加现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。比如，声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加（类比：三原色）。,它对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。例如：,若 是方程 的解， 而 是方程
2、的解，,则对于任意的常数 、 ，函数,2. 弦振动方程的达朗贝尔解法（理想化研究）,*理想化假设：考察边界的影响可以忽略不计的情况，或考察的弦线长度很长，而我们所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式,该定解问题的定解条件只有初始条件，故柯西（Cauchy）问题（或初值问题）。相应地，定解问题中既有初始条件，又有边界条件，则称为初边值问题。,这样求解弦振动的柯西问题就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的柯西问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的柯西问题(II),柯
3、西问题,自由振动,零初始条件受迫振动,*下面用自变量变换的方法求解自由振动情况的柯西问题(I),(2.1) 柯西问题(I),类似地，,从而，方程(2.1)就化为,引入新自变量： 。利用复合函数 求导的法则，有,关于 积分一次，可得,结果，我们从弦振动方程就推导其通解,再关于 积分一次，就可以得到它的通解,下面我们来确定 和 函数表达式。,显然 属于可微函数时，必有,把上述通解表达式代入初始条件，得到：,对（2.3）进行积分，可得,（2.4）,故,注：柯西问题(I)的解关于初始条件的连续依赖性（稳定性）也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。,事实上，令任意,则,且 与 的表达式相减，并对所得等式两
4、边取绝对值，最后对右边用三角不等式，可得,故在有限时间内，自由振动的解 关于初始值连续依赖。,3. 传播波,*考察 情况：,：波速。,由左图可知振动的波形以常速度 向右传播。因此， 的所描述的运动规律称为右传播波，同样形如 的解称为左传播波。问题（I）的解表示为右传播波和左传播波相叠加的方法，称为传播波法（行波法）。,4. 依赖区间、决定区域和影响区域,*依赖区间：点 处的值 由初始条件 和 在 轴的区间 上的值所唯一确定,而与 和 在该区间以外的值无关。这个区间称为点 的依赖区间。,*决定区域：,这个三角形区域内任意一点的依赖区间都在区间 内部，因此，解在此三角形区域内部的数值完全由区间 上
5、的初始条件决定，与该区间外的初始条件无关。这个三角形区域称为区间 的决定区域。,*影响区域：,如果区间 收缩为一点，那么就得到了点的影响区域。,*特征线：,我们看到，扰动的实际上沿特征线往外传播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。,例题：利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题（自由振动Piston问题）,解：设想在 的左侧仍然有弦存在,并在振动过程中 点始终不动。问题于是转化为：如何将 上已知的初始函数延拓为整个直线 上的函数，并使得用延拓后的函数作初值的柯西问题的解在 点恒为零。,为此，记 及 是由 和 分别延拓而得到的函数。由达朗贝尔公式，以 及 为初值的柯西问题的
6、解为,要使 在 点恒为零，就应当成立,为此只需要将 和 分别作奇延拓:,则当 时，,综上即知，自由振动Piston问题的解为,而当 时，,注意到,p16:3,5.齐次化原理（Duhamel原理）,现在我们考察零初值条件强迫振动情形的初值问题,柯西问题(II),外力离散化,利用叠加原理分解,则,冲量定理：外力与速度关系,切割无限加密加细,注意到 表示在 时间段，弦才受到外力作用（可以认为是瞬时外力）。因此,问题（III）,问题（1）可近似替换成,如果记 ，则 为如下齐次方程的定解问题的解,于是,下面求 的表达式，在(III)中作变换,则 满足,利用达朗贝尔公式求出上述初值问题(I)的解为,再代入(2.5)式就得到初值问题(II)的解,(2.5),设 ，利用含参变量积分的求导法则，可得,故,p.17:8,假设抽象柯西问题 有解，则该问题可定义一个解算子,附：抽象版本齐化原理（半群理论）,线性微分算子,解算子,则利用齐次化原理，可得 的解为,故 的解为,比如：,的解为,回忆常数变易法,
