1、一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基与坐标,引 入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,（坐标问题）,一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V 是数域 P 上的一个线性空间,则称向量 可经向量组 线性表出；,使,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组 线性表出；,若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组,为等价的,，使
2、得,则称向量组 为线性相关的；,（4）如果向量组 不是线性相关的，即,只有在 时才成立，,则称 为线性无关的,（1）单个向量 线性相关,单个向量 线性无关,向量组 线性相关,中有一个向量可经其余向量线性表出,2、有关结论,（2）若向量组 线性无关，且可被,向量组 线性表出，则,若 与 为两线性无关的,等价向量组，则,（3）若向量组 线性无关，但向量组,线性相关，则 可被向量组,线性表出，且表法是唯一的,二、线性空间的维数、基与坐标,1、维数,定义,如果在线性空间,中有 n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么V称为n维的,若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称
3、为无限维的.,因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量,例1 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是,无限维的.,1，x，x2，xn1,下面主要讨论有限维线性空间 .,在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量,2 . 基 坐标,，称为 V 的一组基；,下的坐标，记为,设 为线性空间 V 的一组基，,则数组 ，就称为 在基,若,有时也形式地记作,注意：,唯一确定的即向量 在基 下的坐标唯一的.,但是，在不同基下 的坐标一般是不同的,4、线性空间的基与维数的确定,定理：若线性空间V中的向量组 满足,） 线性无关；,） 可经 线性表出 ,则V为n 维线性空间， 为V的一组基,
4、证明： 线性无关，,V的维数至少为 n ,任取V中 n1个向量 ，,由)，向量组 可用向量组,若 是线性无关的，则n1n，矛盾,线性表出.,V中任意n1个向量 是线性相关的,故，V是n 维的， 就是V的一组基,例2 3 维几何空间R3,是R3的一组基；,也是R3的一组基,一般地，向量空间,为n维的，,就是 Pn 的一组基称为Pn的标准基., n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个, 任意两组基向量是等价的,例3（1）证明：线性空间Pxn是n 维的，且,注意：,线性无关的向量都是V的一组基,（2）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,1，x，x2，xn1 为 Pxn 的一组基,也
5、为Pxn的一组基,证:（1）首先，1，x，x2，xn1是线性无关的, 1，x，x2，xn1 为Pxn的一组基，,从而，Pxn是n维的.,其次，,可经 1，x，x2，xn1线性表出,注：,在基1，x，x2，xn1下的坐标就是,此时，,（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的,即,f(x)可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出.,1，xa，(xa)2，(xa)n1为Pxn的一组基,在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是,注：,此时，,若把C看成是实数域R上的线性空间呢？,而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为,例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性,空间的维数与一组基；,解：,复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的,一组基；,它的一组基,注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组基.,例5.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里,解:,下证 线性无关. 设,得齐次线性方程组,其系数行列式,方程组只有零解：,故 线性无关.,又由知，任意均可表成 的线性组合，,所以V为三维线性空间， 就是V的一组基.,
