1、第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第一章,1.1.4 反函数与复合函数,1.1.3函数的几种特性,1.1.1 区间和邻域,第1节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 函数,1.1.2 函数的概念,1.1.5 初等函数,1.1.1 区间和邻域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,开区间：,设,和,都是实数，,且,则数集,称为开区间，记为,即,和,称为开,区间的端点。,闭区间：,数集,称为闭区间，即,类似地有,称为半开半闭区间。,无限区间,点的 邻域,去心 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,左 邻域 :,右 邻域 :,定
2、义域,1.1.2 函数的概念,定义1.1.1. 设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数 ,记为,f ( D ) 称为值域,函数图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习 习题1.1 题1：（3）、（6）,1.1.
3、3. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,(2) 单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,奇函数,双曲正弦
4、,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习 1.1 题5.,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,2)
5、 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,1.1.5. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由
6、常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,( 自学, P7 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 集合及映射的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,作业 习题1.1 P7 1 (2),(5) ; P8 3; 7(4); 8,2. 函数的定义及函数的二要素,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,
