1、量子力学导论 Introduction to Quantum mechanics,成都理工大学 2016年9月11月,课程内容,第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心力场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论,第二章 一维势场中的粒子,2.1 方势（一维定态问题的求解） 1、一维无限深平底势阱 2、一维有限深势阱 3、势垒贯穿,1、一维无限深平底势阱,a 一维无限深势阱的求解,求解定态薛定谔方程分四步： 列出各势域的一维定态薛定谔方程 解方程给出通解形式 使用波
2、函数边界条件定解 定归一化系数,1、一维无限深平底势阱,列出各势域的一维定态薛定谔方程,1、一维无限深平底势阱,解方程、使用波函数边界条件定解,当x -，有限，C2=0。,从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是(-a) = (a) = 0,1、一维无限深平底势阱,使用波函数边界条件定解,波函数连续,1、一维无限深平底势阱,定归一化系数,1、一维无限深平底势阱,定归一化系数,1、一维无限深平底势阱,一维无限深势阱中粒子的能量与定态波函数为：,对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。一
3、维有限运动能量是分立能级，组成分立谱，基态（n=1），激发态（n1)。,1、一维无限深平底势阱,b 物理意义 能量离散,基态能量不为0,相邻能级间隔,与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没 有意义的。,1、一维无限深平底势阱,b 物理意义,波函数,波函数交替为偶、奇函数，随能量升高，与x轴交点越来越多,1、一维无限深平底势阱,c 定态波函数的性质 定态波函数的正交归一,定态波函数的完备性,任一波函数(x)可用定态波函数的线性组合表示：,1、一维无限深平底势阱,d 方程通解 无限深势阱中，薛定谔方程的特解为：,无限深势阱中，薛定谔方程的通解为：,1、一维无限深平底
4、势阱,e 系数Cn,由初始波函数,1、一维无限深平底势阱,实际情况的极端化和简化,三维方势肼,第二章 一维势场中的粒子,2.1 方势（一维定态问题的求解） 1、一维无限深平底势阱 2、一维有限深势阱 3、势垒贯穿,2、一维有限深势阱,三个区域的定态薛定谔方程：,-V0 0,2、一维有限深势阱,A 方程求解,-V0 E0,当x时，波函数有限。A=0,C=0,2、一维有限深势阱,A 方程求解,偶宇称态,2、一维有限深势阱,A 方程求解,偶宇称态,2、一维有限深势阱,A 方程求解,奇宇称态,2、一维有限深势阱,B 物理意义能量 （能级） 束缚态能级为有限个分立值 至少有一个，能级总数为波函数 无论能
5、量大小，粒子在全空间都有出现。,-V0 E0,第二章 一维势场中的粒子,2.1 方势（一维定态问题的求解） 1、一维无限深平底势阱 2、一维有限深势阱 3、势垒贯穿,25,经典量子?,3、势垒贯穿,已知粒子以能量E沿x正向 入射,3、势垒贯穿,A 方程求解,三个区域的定态薛定谔方程 方程可写为：,0 V0,3、势垒贯穿,A 方程求解,0E V0,利用波函数连续、波函数导数连续确定各参数。,3、势垒贯穿,B 反射系数与投射系数,透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数 JD/JA,反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数 JR/JA,3、势垒贯穿,B 反射
6、系数与透射系数,即使 E V0，透射系数并不等于零。,粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。,例1: 入射粒子为电子。,设 E=1eV, U0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得 T 0.51。,若a=5 10-8cm = 5 ， 则 T 0.024，可见 透射系 数随势垒宽度增加而迅速 减小。,质子与电子质量比 p/e 1840。 对于a = 2 则 T 2 10-38。 透射系数随粒子质量增加 而迅速减小。,例2: 入射粒子为质子。,可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。只有粒
7、子的质量和势垒宽度比较小时，隧道效应才显著,32,经典量子,隧道效应,量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的衰变现象。,隧道效应应用, 粒子怎么过去的呢? 通过隧道效应出来的,对不同的核算出的衰变概率和实验一致,势垒高度,第一台扫描隧道显微镜STM是由美国IBM公司的宾尼和罗雷尔在1982年发明的，它的显微分辨率超过电子显微镜数百倍，达到0.1nm。,隧道效应应用,STM 是一项技术上的重大发明，用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）,原理：利用量子力学的隧道效应,35,E,A常量,样品表面平均势垒高度（eV）,扫描隧道显微镜（STM）装置示意图,隧道效应应用,37,38,“扫描隧道绘画”,一氧化碳“分子人” “原子和分子的观察与操纵” - 白春礼 P.151 图7-8,CO分子竖在铂片上 分子人高5nm,39,1993年美国科学家移动铁原子，铁原子距离0.9纳米,“量子围栏” 48个铁原子排列在铜表面,作业,P49：2.2,2.4,
