1、1,质点系动力学专题讨论,2,. 质点系相对动点(平移动系)的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩定理：,质点系相对动点的动量矩定理：,3,. 质点系相对动系的动能定理,：作用于第 i 个质点上的科氏惯性力,相对运动中的动能定理: 质点系在相对运动中的动能的变化,等于作用于质点系上所有内力、外力及牵连惯性力所做的功。,4,牵连惯性力有势的情况：,(1) = 常矢 (动系匀加速平移),(2) 动系作匀速定轴转动,记：,则：,质点系的惯性力势能(称为离心势能)：,5,3. 势力场中的质点系动力学,力场: 一种空间，质点(系)所受力完全由其空间所处位置决定。,势力场: 一种力场，场力所做的功与质点经过
2、的路径无关，这样的力场称为势力场或保守力场。,势能: 质点从某一位置 A 到基准点 Ao ，有势力所做的功，称为质点在该位置的势能。基准点的势能为零。,设作用在质点上的有势力为：,则有,6,质点系在势力场中的运动微分方程,记质点系的势能函数为：,直角坐标系下质点系的运动方程：,7,4. 中心力场中质点的运动,由对力心 o 点的动量矩守恒：,= 常矢,两边点乘 ：,记：,则有：,即质点的运动轨迹落在过力心 o 的平面上。,问题简化成平面问题。,8,对于万有引力：,运动微分方程：,引力势能(令 处引力势能为零)：,9,在平面情况下：,一般写成极坐标形式。,动力学方程可以精确求解(称为可积)。,在适
3、当的初始条件下，质点可以绕力心作圆周运动(特解)。,10,5. 极坐标下的质点运动学方程,极坐标系统:,质点的运动方程:,质点的速度:,同理:,11,质点的运动方程:,质点的速度:,质点的加速度:,极坐标下的质点运动学方程,12,6. 引力场中的质点动力学,质点的运动微分方程:,即:,Kepler 第二定律: 行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。,13,作变量代换:,关于时间求导则有:,14,e = 0 : 圆,0 e 1: 椭圆,e = 1: 抛物线,e 1: 双曲线的一枝,解得:,得轨迹方程:,：由初条件确定。,15,两个具有球对称性的物体(视为质点)无外力作用, 在空间自由运动
4、, 相互间有作用力(沿两者连线).,行星绕日, 或人造卫星绕地等, 都可以近似用该模型.,该问题最终可以化成单个自由质点在中心力作用下的运动问题.,7. 二体问题,16,考虑二体问题(如图所示):,由Newton定律:,两式相加:,17,即质心做惯性(匀速直线)运动.,即问题化为: 一个(等效)质量为 的质点在中心力作用下的运动问题.,对于万有引力：,二体问题已被解决.,在适当的初始条件下，r 可以绕质心 C 作圆周运动(特解),18,在适当的初始条件下，r 可以绕质心 C 作圆周运动(特解),19,n(n2)个具有球对称性的物体(视为质点)无外力作用, 在空间自由运动, 相互间有作用力(沿两
5、者连线).,一般的 n-体问题的自由度为 3n(3n个位置坐标), 相空间的维数为 6n (位置+速度). 具有 6n 个积分常数.,二体问题已被解决. 三个以上的 n 体问题无法解决.,n 体问题,二体问题已被解决. 但三体问题无法精确求解.,三体问题,20,限制性三体问题: 其中一个物体的质量很小, 以至于对其他两个物体的运动的影响可以忽略.,两个大质量物体的运动可以通过二体问题被解决. 限制性三体问题转化成：质点在两个大质量物体的引力作用下的动力学问题.,研究较多的情况是: 两个大质量物体绕它们的质心作同平面的圆周运动.此时如果小质量物体作空间运动, 得到的是一个三自由度系统; 如果再限
6、制小质量物体作平面运动, 则得到的是一个二自由度系统.,8. 限制性三体问题,21,两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动(平面问题):,限制性圆轨三体问题,22,两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动(空间问题):,限制性圆轨三体问题,23,限制性圆轨三体问题(CR3BP),运动微分方程:,其中, 有效(effective)势能:,科氏加速度分量,离心势能,24,限制性圆轨三体问题(CR3BP),可以适当选择时间的单位, 使得:,可以适当选择质量的单位, 使得:,不难验证, 在这样的单位选择下, 有:,记大质量物体 J 的质量为 , 则物体 S 的质量为 (1- ).,动能:,势能:,可以适当选择长度的单位, 使得:,25,两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动(空间问题):,限制性圆轨三体问题(CR3BP),26,限制性圆轨三体问题(CR3BP)平面情况,运动微分方程:,其中, 有效势能:,27,习题5-26,由相对运动中的动能定理,牵连惯性力有势：,则有：,相对初始速度为零，有相对运动中的机械能关系：,28,习题5-26,受力分析：,水平面内的动力学方程：,向相对轨迹的切向投影：,两边同乘相对轨迹的微小弧长 ds：,当 ds0 时：,
