1、有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？,？,3. 有些运动用动量矩比用动量更能反映其运动特征。如行星的运动：,1. 刚体绕过质心的轴转动时 ，可见动量不能表征或度量这种运动。,2. 动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。,开普勒定理：mv1r1= mv2r2 =常量,Chapter 11 动量矩定理,11-1 质点和质点系的动量矩,动量矩: 质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）,1质点的动量矩,仿照力矩的定义：,质点对点O的动量矩：,矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。,大小：M
2、O=2OAM。单位： kg2/s=Nms,对固定点O：,质点对轴 z 的动量矩：对固定轴z,代数量，由右手螺旋法则确定正负。,同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的矩，即：,2质点系的动量矩,质系对点O动量矩：,质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和：,质系对轴z 动量矩：,质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和：,并且有：,注意：（a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。,（b）是否有:,（c）如果刚体作平动，则可视为一质点，其动量矩与质点动量矩相同。,否！,？,式中 称为刚体对z轴的转动惯量，恒为正。,即：定轴转动刚体对转轴
3、的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。,3定轴转动刚体对转轴的动量矩,对于任一点Mi，由于 z轴，且vi=riw ,则整个刚体对z轴的动量矩：,11-2 动量矩定理,1质点的动量矩定理,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。,故：,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:,上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,质点的动量矩守恒,例如：,（1）质点受有心力作用（作用线始终通过某固定点的力称为有心力，此点称为力心）
4、，力对力心的矩始终等于零，则力对力心的动量矩守恒：,如：行星的运动，行星所受到的力始终指向太阳。,（2）小球绕固定轴转动,r，v；r，v。,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。,2. 质点系的动量矩定理,左边交换求和与导数运算的顺序,质点系的动量矩定理,对质点系有:,对质点Mi ：,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。,定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力
5、才能改变质点系的动量矩（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。,质点系的动量矩守恒（1）当 时， 常矢量。（2）当 时， 常量。,讨论:对定轴转动刚体，若 , 则 常量，即w=常量，匀速转动。,解:,由 , ， 得,卷扬机,Example 12-2：已知 , , , , , , 不计摩擦.,求:（1）,（2）O处约束力,（3）绳索张力 ，,由 , 得,（3）研究,（4）研究,（2）由质心运动定理,求：剪断绳后, 角时的 .,Example 11-3：两小球质量皆为 , 初始角速度,时,时,由 , 得,解：,Example 11-4 水轮机转轮绕铅直轴转动，进口水速度 , 出口水速度 , 它们与
6、切线夹角分别为1、2 , 水体积流量Q。求水流对转轮的转动力矩。,设叶片数为n ,水密度为,有,经dt 时间,水由ABCD流到 abcd ，动量矩改变为：,解：以两叶片间的水流ABCD为研究对象：,此为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。,刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。,设刚体在外力作用下绕轴转动，角速度，角加速度。令 z 轴与转轴重合，刚体对 z 轴的动量矩为,应用质系对z轴的动量矩方程，得：,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,此式称为刚体绕定轴转动的微分方程,外力矩Mz越大，刚体转动的角加速度也越大。当Mz=0时，角加速度= 0，刚体作匀速转动或
7、保持静止。 在同样的外力矩作用下，刚体的转动惯量Jz越大，角加速度越小。Jz反映了刚体保持其匀速转动状态能力的大小，转动惯量是刚体转动时的惯性度量。,刚体定轴转动微分方程,解决两类问题： 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理或动量定理求解。,求微小摆动的周期 .,Example 11-5 物理摆（复摆），已知 .,解：,微小摆动时，,即：,通解为,称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.,周期,Example 11-6 卷扬机的传动轮系如图，设轴I和各自转动部分对其轴的转动惯量分别为J1和J2，轴I
8、的齿轮C上受主动力矩M的作用，卷筒提升的重 。齿轮 A、B 的节园半径为 ，两轮角速度之比 。卷筒半径为 R，不计轴承摩擦及绳的质量。 求重物的加速度 。,解：本题二根固定轴必须拆开，分别以两轴及与其固连的齿轮为研究对象。轴I除受主动力矩M和重力、轴承约束力外，还受有齿轮力Ft及Fn，现假设1与M的方向相同如图。为使方程正负号简单，一般约定以角加速度的转向为正，于是轴 I 的转动方程为,再以轴和重物W为研究对象，画出其受力图。按运动学关系画出2 (1反向)，以2转向为正，应用质点系的动量矩定理：,式中有三个未知量1、2和Ft，还需建立补充方程。由运动学,重物上升的加速度,联立解得,Exampl
9、e 11-7 两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，Jo=17ml2/12. 当OA处于水平位置时, T形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。,解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。,由刚体定轴转动微分方程,根据质心运动微分方程，得,其中：,11-4 刚体对轴的转动惯量,转动惯量的概念,1.定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。,转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的位置有关； 恒为正标量；单位：kgm2,2.物理意义：刚体转动时惯性的度量。,对于质量是连续分布的刚体，则,3.
10、回转半径,由 所定义的长度z 称为刚体对 z 轴的回转半径或惯性半径。,若已知z ，则刚体的转动惯量为：,注意： z 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。,z为长度量纲。,计算转动惯量的一般公式,取直角坐标系Oxyz，设刚体上任一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则由定义：,即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴的转动惯量之和的一半。,对于平面薄板：zi=0 ,即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板内的相互垂直的两
11、个轴的转动惯量之和。,对简单形状的均质刚体，用积分法 如： 匀质细直杆长为l , 质量为M。求：对z轴的转动惯量 。,转动惯量的计算,2. 对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对指定轴（或点）的转动惯量再求总和组合法。,3. 对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量：扭摆法、复摆法。,要求记住三个简单几何体转动惯量：,（1） 均质圆盘对盘心轴的转动惯量,（3） 均质细直杆对一端的转动惯量,均质细直杆对中心轴的转动惯量,（2） 均质薄圆环对中心轴的转动惯量,平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,任一轴：z/z,质心轴,两轴距离,解：,Example 11-8 图示复摆，已知均质细杆：m，l；有孔圆盘：M，R，r，求摆对过O点且垂直于图面的轴的转动惯量。,其中，盘的质量：,孔的质量：,Example 11-9 ：求对 轴的转动惯量.,实验法 将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.,由,其中 已知, 可测得，从而求得 .,解：,
