1、一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,6.3 一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得
2、,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 3,伯努利方程,的解,原方程可写为：,令,， 则,从而,所以,于是,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,注：在微分方程中,通常将y看成x的函数，这样上题不是关于y=y（x）的线性
3、方程。但如果将x看成y的函数，则方程可化为关于x=x(y)的线性方程。这种思想在判断一个微分方程是否为线性方程时非常重要。,6.4一阶微分方程的应用举例,根据未知函数的导数的具体意义，运用有关学科的基本知识，发现含有未知函数的导数的等量关系，以建立描述该问题的微分方程，然后去解这个方程，借助于方程的解去解释与所讨论问题有关的种种现象。,例 1 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,例 2,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,
