1、第六节 线性微分方程解的结构,二、线性齐次微分方程解的结构,三、线性非齐次微分方程解的结构,一、二阶线性微分方程举例,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态,例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系.,设时刻 t 物体位移为x = x(t).,1. 弹性恢复力,物体所受的力有:,成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,2. 阻力,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微
2、分方程;,二阶线性非齐次微分方程.,n 阶线性微分方程的一般形式为,n 阶线性齐次微分方程;,n 阶线性非齐次微分方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,二、线性齐次微分方程的解的结构,定理1,问题:,例：设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的解,但是 , y=C1 y1+C2 y2 不为 (1) 的通解 .,(解得叠加原理),为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关 与线性无关概念.,证,代入方程左边, 得,定义,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如：,在( , )
3、上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如：,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都线性无关.,若存在不全为 0 的常数,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,例如,推论,是 n 阶线性齐次微分方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,三、线性非齐次微分方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3,则,是非齐次方程的通解 .,证 将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又
4、Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,因而 是通解 .,例2 设 是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用 表示方程的通解.,例3已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶线性齐次 方程的解 , 求该方程 .,解,例4,解,(1) 由题设可得：,解此方程组，得,(2) 原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,(非齐次方程之解的叠加原理),n 阶线性微分方程,二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:,四、小结,主要内容,2、二阶线性微分方程解的结构定理,1、函数的线性相关与线性无关；,思考题,解,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,补充内容,可观察出一个特解,练 习 题,练习题答案,
