1、第3章 空间力系,举例,实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,3.1 空间力的分解及其投影,若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角, 则用直接投影法(一次投影法),当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时, 可把力F先投影到坐标平面Oxy上, 得到力矢量Fxy, 然后再把这个力投影到x 、y轴上, 这叫间接投影法(二次投影法)。,这里要强调指出，空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影Fxy则是矢量。,3.2 力对轴的矩,3.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢(补充),空间力对点的矩要考虑三个方面: 力矩的大小、指向和力矩作
2、用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示。其模表示力矩的大小(Fh); 指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则); 方位表示力矩作用面的法线。,h,4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢,以r表示力作用点A的矢径, 则,在图示坐标系中有,3.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢,力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为,x,y,z,O,F,MO(F),r,A(x,y,z),h,B,j,i,k,3.2.2 力对轴的矩,3.2.2 力对轴的矩,力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。即:,符号规定：从z轴正向往
3、负向看，若力使刚体逆时针转动取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。,同样，力对轴之矩亦有合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。即：,由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。,3.2.3 力对轴之矩的解析表达式,x,y,z,O,F,Fx,Fy,Fz,A(x,y,z),B,Fx,Fy,Fxy,a,b,x,y,设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx, Fy, Fz, 力作用点A的坐标为(x,y,z), 则,同理可得其它两式。故有,比较力对之矩和力对轴之矩的解析表达式得:,即: 力对点的矩矢在通
4、过该点的某轴上的投影, 等于力对该轴之矩。,3.2.4 力对点之矩与力对过该点之轴的矩的关系,例3-2: 求力F 在三轴上的投影和对三轴的矩。,解:,y,x,z,F,j,q,b,c,a,空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系, 如图。,3.3.1 空间任意力系的合成,3.3 空间力系的合成与平衡,空间中力偶为矢量,空间汇交力系可合成一合力FR:,力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。,3.3.1 空间力系向一点的简化,空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:,力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。,主矢的大
5、小和方向为:,或,根据合力矩定理,得到主矩在三个方向的投影为:,于是主矩的大小和方向可由下式确定:,3.3 空间力系的合成与平衡,3.3.2 空间任意力系的平衡方程,FR0, MO 0 =,空间任意力系平衡的必要与充分条件为: 力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零, 且各力对三个轴之矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的平衡方程。,3.3 空间力系的合成与平衡,不失一般性，假定取z 轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的6个平衡方程中有3个恒为零，即,因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个,分析:空间平行力系的平衡方程,例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD
6、支承，如图。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm，b 45，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。,解：以铰A为研究对象，受力如图。,由几何关系：,解得：,如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。,解：,F,b,b,c,a,A,B,C,D,a,例3-2 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住，并在A点用球铰约束，G、A、H在地面上，臂杆的D端悬吊的重物重P=20 kN。求两绳的拉力和支座A的约束反力。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标系。,列平衡方程如下：,联立求解得：,例3-3 用六根杆(两端为球铰)支撑正方形板ABCD如图所
7、示，力P 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。,解：以板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,例3-4 一车床的主轴如图所示, 齿轮C半径为100 mm, 卡盘D夹住一半径为50 mm的工件, A为向心推力轴承, B为向心轴承。切削时工件等速转动, 车刀给工件的力Px466 N、Py352 N、Pz1400 N, 齿轮C在啮合处受力为Q, 作用在齿轮C的最低点，压力角a20。不考虑主轴及其附件的质量, 试求Q的大小及A、B处的约束力。,A,FAx,FAy,FAz,FBz,FBx,Px,Pz,Py,B,y,x,z,50,200,100,解: 取主轴及工件为研究对象。,向心轴承B的约束反力为FBx和FBz, 向心推力轴承A处约束反力有FAx、FAy、FAz, 其中FAy 起止推作用。主轴共受九个力作用, 是空间一般力系。,Q,例题3-4 如图所示三轮小车，自重 = 8 kN，作用于E点，载荷F1 = 10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。,以小车为研究对象，主动力和约束力组成空间平行力系，受力分析如图。,列平衡方程,解：,解方程得,
