1、(中值定理与导数的应用),第三章 微分中值定理与导数的应用,这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中 又提供了两种求极限的方法-洛必达法则与泰勒式；另外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式 又可解决一大类不等式及等式的证明，结合上面连续函 数的性质,又可讨论方程根的分布。,函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质 变化率，它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们 要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函 数在其定义域上的整体性质。而函数的局部性质与整体性 质是通过中值定理表达的。这些中值定理是微分学的基 础，它联系着导数的许多应用。,第一节 微分中值定理,一.
2、罗尔(Rolle)定理,首先，我们看图,其中连 续曲线弧AB是函数y=f(x)， (xa,b)的图形。此图形 的两个端点的纵坐标相等， 即f(a)=f(b)，且除了端点外 处处有不垂直于x轴的切 线。,x,可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水,平的切线.如果记C点的横坐标为，那么有 = 0。我,f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)，那么 =0.,们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。,引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有 定义并且在x0处可导, 如果对任意的xU(x0)，有,当x 0时,b,证明: 设xU(x0)时, f(x)f(x0) 对f(x
3、)f(x0)可以同样证明 对于x0+x U(x0),有 f(x0+x )f(x0) 0,当x 0时,根据函数f(x)在x0点可导的条件,再由极限的保号性，便得到,= 0 证明完毕。 通常称导数为0的点为函数的驻点，(或称为稳定点,临界点),所以,罗尔定理,设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续 (2)在开区间(a,b)内可导， (3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)， 则在(a,b)内至少存在一点，使得函数f(x)在该点的导数,等于0, 即有 (ab) (1),证明: 由于函数f(x)在闭区间a,b上连续,那么它在该区 间上必定存在最大值M和最小值m,下面我们分两种情况来证
4、明定理1,即f(x)在a,b上是常数; 所以在(a,b)内的任意一点C有f(C)=0,(1) 设M=m 由,知道在(a,b)内取得M或m值的点,有,(2)设Mm,必有mM,由于f(a)=f(b),所以在区间的两端,函数f(x)不可能同时取到最大值和最小值,M和 m中至少有一个是在(a,b)内达到, 由费马定理我们,定理1的几何意义是: 对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有一点(即中间值),使f(x)在x=时有水平切线,即f()=0.,罗尔中值定理: 若函数y=f(x)满足条件(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内具有导数(3)在区间的端点的函数值相等f(a)=f(b)结论
5、是在(a,b)内至少存在一点(ab)使f()=0,例如函数 f(x)=|x|, x-1,1, (1) 在-1,1上连续,(2) f(-1)=f(1)=1,但在x=0处不可导(不满足第二个条件),所以在-1,1内找不到一点使f()=0.,同学们注意: 必须要满足这3个条件,如果少一个就 没有这个结论.,例1 设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可 导,且在任一点处的导数都不为零.又f(a)f(b)0.试证明:方 程f(x)=0在开区间(a,b)内有仅有一个实根.,证明: 由于函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,且 f(a)f(b)0.即f(a)与f(b)异号,由闭区间上
6、连续函数的性质,至少存在一点x0(a,b),使f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根x0.再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1(a,b),x1(a,b),x1x0,使f(x1) =0.那么由罗尔定理知道,必定存在一点 (a,b),使f ()=0,则与题设导数恒不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.,二 拉格朗日(Lagrange)定理,定理2 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点,使得,分析: 看图(2)式的右边是连续曲线上两点 A(a,f(a),B(b,f(b)的弦的斜率,定理的结论是至少存在一
7、内 点,使得曲线上的点C(,f()的切线平行于AB弦.当f (a)=f(b)时拉格朗日定理就是罗尔定理.,这里采用构造一个函数的方法是高等数学中常用的方法. 请同学注意,要学会它.,设,函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,则函 数(x)也在a,b上连续,在(a,b)内可导,由(a)=(b) 根据定理1知道至少存在一点,使得,它可以写成下列几个常用的公式,我们知道x+ x在x和x+ x之间,它是个中值.,下面我们介绍一个推论 如果函数f(x)在某区间I上的导数恒为0则此函数在区间上是一个常数. 证明: 任意取x1,x2I,由中值定理: f(x2)-f(x1)=f(C)(x
8、2-x1)其中c位于x1,x2之间,由题设可知f(x2)=f(x1) 由x1,x2的任意性,知道f(x)=C(常数,x I,),例2 设函数f(x)在区间I上的导函数f(x)有界,证明存在常 数L使得对于I上任意两点x1和x2,都有不等式 |f(x1)-f(x2)|L|x1-x2| 成立这时称为函数在区间I上满 足李普希茨(Lipschitz)条件,证明: 由中值定理: f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1) 其中在x1,x2之间由题可知存在L0,使得|f()|L 所以|f(x1)-f(x2)|= |f()| |(x2-x1)| L|x1-x2|,例3: 证明等式:,证明： 将左式设为f
9、(x),当|x|1/2时,由中值定理可知f(x)=C(常数,|x|1/2) 在(-1/2,1/2)中选一点计算函数值,例如取x=0,得到 f(0)=3arccos0-arccos0=3 /2- /2= 所以f(x)= (|x|1/2) 当x=1/2时,有 3arccos1/2-arccos(3/2-1/2)=3 /3-0= 3arccos(-1/2)-arccos(-3/2+1/2)=32 /3- = ,例4 若f(x),g(x)在0,+上连续,在(0,+)内可微,且f(0)=g(0), 当x0时,f(x)g(x).，则当x0时,f(x)g(x).,例5 证明不等式:,证明: 设F(x)=f(
10、x)-g(x) ( x0) 由于F(0)=f(0)-g(0)=0,且F(x)=f(x)-g(x)0 (x0) 所以F(x)-F(0)= F(x)(x0)0F(x)=f(x)-g(x)0 即f(x)g(x).,分析:上面的不等式包含两个不等式关系:,对于每一个不等式,问题是比较两个函数的大小.我们直接利用例3设,三 柯西(Cauchy)定理,定理3 设函数f(x)和g(x)都在闭区间a,b上连续,在开区 间(a,b)内可导,且g(x)0,则在(a,b)内至少存在一点,使 得下式成立,将(4)式写成下列形式,且构造辅助函数(辅助函数一般的构 成方法是把结果的右边移到左边,使它变成零.),证明：先证
11、明(4)式中分母g(b)-g(a)0,因为g(x)0,根据中值定理将辅助函数求导,应用(Lagrange)定理可以得到.,构造函数,它在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,柯西(Cauchy)定理得到证明.,根据(Rolle)定理可以得到:至少存在一点,使,罗尔(Rolle)定理，拉格朗日定理，柯西(Cauchy)定理之间的 关系,例6 当x1时,试证明不等式 exex.,证明: 用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅助函数,并定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间上满足定理的条件,然后由中值所在的位置,放大或缩小f(),推出要证的不等式.设f(x)=ex, x1,则f(x)在1,x上连续,在(1,x)内可导,由拉格朗日定理知,存在 (1,x),使得,例7 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),求满足罗尔定理的值.,解: 因为f(x)在闭区间1,2上满足罗尔定理三条件:连续,可导和f(1)=0f(2)=0,所以存在1(1 12)满足 f(1)=0,同理存在2,(2 2 3)满足f(2)=0,
