1、1,朱红波,广东工业大学应用数学学院,数学物理方程,2,第三章 行波法、积分变换法,Fourier 变换,积分变换法:,通过积分变换, 将偏微分方程的某些定解问题化为常微分方程定解问题来求解。,在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题的方法，行波法与积分变换法.,行波法又称为达朗倍尔方法，它是求解无界域内波动方程定解问题的一种有效的方法。,Laplace 变换,3,第一节 一维波动方程的达朗倍尔解法(行波法),物理解释：,认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波动的传播。,一、一维波动方程的达朗倍
2、尔解：考虑无界弦的自由振动问题：,4,给我们以启发，通过适当的变量代换，令,将泛定方程改写成以下形式：,方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：,5,回到原来的变数x及t，立即得到泛定方程的解的一般形式即其通解为,其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。,由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如F(x+at)与G(x-at)的两个函数之和。,6,其中 u=F(x+at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波形，以速度a0向左（即x轴反向）传播，而波形保持不变，它称为左传播波； u= G(x-at)则表示以速度a向右传播的波， 称为右传播波。,方程的形如u=F(x+at)或u=G(
3、x-at)的解称为行波。,右传播波,左传播波,7,弦振动方程的通解表达式说明:,弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。,下面我们看到，通过把方程的解表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题的解。这个方法称为行波法。,8,代入初始条件，可得,将（1）式两端关于 x 求导一次，得,（3）,由（2）、（3）两式，解得,9,再将以上两式关于x 积分一次就得到,其中c1与c2是常数。由,c1+c2=0.,得到,10,这个公式称为达朗贝尔公式。,最后我们可得,11,举例，求解弦振动方程的柯西问题,由达朗贝尔公式可得其解为：,12,. Fourier变换,设,是定义在R上的函数，且,
4、则,可以展开为Fourier 级数,其中,第二节 一维定解问题的积分变换法,13,傅里叶积分定理:设f 在 内满足下面两个条件： （1）积分 存在； （2） f(x) 在 内满足狄里克莱条件：在任意有限区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则,若左端的 f(x)在它的间断点x 处，,14,定义：,如果 f(x) 满足傅里叶积分定理的条件，则定义 f(x) 的傅里叶变换为,定义,的傅里叶逆变换为,15,Fourier积分定理可以写为,称为反演公式,以下举例说明,16,17,18,Fourier变换的性质,Fourier变换及其逆变换是线性变换,2. 位移性质,设,，则,或,19,3
5、. 相似性质,4. 微分性质,20,5. 积分性质,6. 对称性质,则,21,7. 卷积性质,如果对于f(x)与g(x), 使得,存在，则定义f(x)与g(x)的卷积为,22,卷积定理,（1）,或,（2）,23,证明,24,25,用积分变换法求解定解问题思路：,选择适当的变换,定解问题,对泛定方程取变换,对定解条件取变换,含参变量的常微分方程,方程的边界条件,解常微分方程的定解问题,未知函数的像函数,取逆变换,像原函数,这就是定解问题的解,26,27,28,29,30,31,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换是与傅立叶变换类似的，通过积分实现的变换.,对于函数,为函数 拉普拉斯变换，该积分为拉普拉斯积
6、分，,1. 定义：,32,的增长指数,33,拉普拉斯逆变换,34,举例,(1) 求,(2) 求,(3) 求,35,(4) 求,36,3. 性质,(1) 线性性质,，则,同理,37,(2) 微分性质,证明,一般地，,38,(3) 积分性质,证明,设,故,由于,故,39,(4) 相似性质,(5) 位移性质,40,(7) 卷积定理,f(x) 和 g(x)的卷积,则有,41,例二、设有一条半无限长各向同性的均匀导热杆，杆与周围介质绝热，不考虑热源，它的有界的一端 ( ）,，研究杆上温度分布随时间变化的规律。,它可表为以下的定解问题：,Laplace变换应用,42,将方程的两边进行拉普拉斯变换，并运用变换的微分性质可得,边界条件的拉普拉斯变换为,43,其通解为,由,，得到,44,要求得,的表达式，只需运用拉普斯变换的卷积性质，对,45,称为余误差函数,由拉普拉斯变换的微分性质，可得,46,最后，由拉普拉斯变换的卷积性质可得原问题的解：,作变量代换，令,可将以上的结果写为下列形式：,。,
