1、2018/10/12,1,概率论与数理统计,主讲人： 胡朝浪 Cl_ 四川大学数学学院,Probability & Statistics,2018/10/12,2,概率论的诞生,分赌注问题：甲、乙两个赌徒按某种 方式下注赌博，说定先胜t局将赢得全 部赌注。但进行到甲胜r局，乙胜s局， （r,st）因故不得不中止，试问如何 分配这些赌注才公平合理？,巴斯卡和费马在1654年给出了正确的 解法。,2018/10/12,3,第一章 概率论基础知识,1.1 样本空间与随机事件,2018/10/12,4,1.1.1 随机试验,1.可以在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果
2、的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。,随机试验的三个特点:,2018/10/12,5,例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，,(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,可能结果为:,=(H,H), (H,T),(T,H), (T,T),可见，该随机试验 的所有可能的结果， 构成一个集合：,我们称该集合为这 个随机试验的样本 空间。,2018/10/12,6,1.1.2样本空间sample space,表示一个试验的所有可能的集合，称 为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作.,样本点,2018/10/12,7,随机事件event-样本空间的子集 .,
3、例：掷一颗骰子，观察出现的点数,= 1,2,3,4,5,6,样本空间：,B = 1,3,5,B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.,事件B就是 的一个子集,2018/10/12,8,从集合的角度看,2018/10/12,9,1.1.3 事件的关系及运算,1.事件的包含与相等,A 发生必然导致 B 发生,例如: A=1，B=1，3，5,A1,An中至少一个发生,2018/10/12,10,A,B同时发生,3.,1.1.3 事件的关系及运算,例如：A=1，3，5；B=2，4，6，则AB=,说明AB同时发生是不可能事件；,2018/10/12,11,4.,A发生而B不发生,A B =,
4、5. A与B互不相容（或互斥）,1.1.3 事件的关系及运算,B,2018/10/12,12,6. A 的对立事件,1.1.3（续）,须满足：,注意对立事件与互斥的区别,综上得一般结论：,2018/10/12,13,1.1.3 事件的关系及运算,7. A1, A2,An 构成 完备事件组,完备事件组将样本空间分为有限个 互不相容的事件的和。,2018/10/12,14,运算律：(Page4), 交换律, 结合律, 分配律, 对偶律,2018/10/12,15,例1.1,检查产品质量时，从一批产品中任意抽取 5件进行检查，设事件,请用集合表示下列事件：,（1）完备事件组； （2）发现两件或三件次
5、品； （3）最多两件次品； （4）至少一件次品；,2018/10/12,16,例1.2,事件A,B,C分别表示一同学高数、线代、 概率三门课程成绩优秀,请用事件的关系 运算表示(1)仅有线代优秀;,(2)高数,概率至少一门优秀而线代不优秀;,(3)至少两门优秀;(4)恰有两门优秀;,解: (1),(2),2018/10/12,17,例1.2,(3)至少两门优秀,(4)恰有两门优秀;,2018/10/12,18,我们关心某个随机事件A发生的可能性大小：,想法：用P(A)来度量，P(.)的取值 跟A有关，即：用一个与A有关函数 来定义。因此：P(.)是个集函数。下面考虑该集函数的应具有的性质。,1
6、.2事件发生的概率,2018/10/12,19,1.2.1 频率及性质,定义1.1 在 次重复试验中，若事件A发生 了 次，则称 为事件A发生的频数，称 为事件A发生的频率，记为,大量实践表明：频率有波动性，但随着试 验次数增加，频率总稳定在某个值附近。,2018/10/12,20,设E是随机试验，是它的样本空间。对于每一个事件A赋予一个实数 P(A),称为事件A 的概率，如果它满足以下三条：,1.2.2概率的公理化定义,2018/10/12,21,概率的性质,一般地，若,2018/10/12,22,小结论:,概率的性质,2018/10/12,23,6 （一般加法公式）,推广：,概率的性质,2
7、018/10/12,24,例1.6,A，B为两事件，已知,解：,2018/10/12,25,例1.6（续）,A，B为两事件，已知,接,2018/10/12,26,1.3.1 古典概型,（1）试验只有有限个可能结果; （2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；,在古典概型中，若 中有n个样本点，事件A中有k个样本点，则,2018/10/12,27,两个基本的摸球模型,口袋中有N只球，其中m个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k个红球的概率。,考虑如下两种情况:,(1)有放回摸球 (2)不放回摸球,2018/10/12,28,（1）有放
8、回抽样 样本空间中的样本点总数一共有Nn,取出的 n 个球 究竟哪 k 个是红球 Cnk,m个红球中 取 k 个mk,(N-m)中取出 n k 个 (N-m)n k,概率论中称为是二项分布的概率公式,2018/10/12,29,（2）无放回抽样,我们感兴趣的是：n个中有k个红球,概率论中称为是超几何分布的概率公式,2018/10/12,30,例1.10,30只元件中有27只一等品，3只二等品。 随机将30只元件均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率；,解： （1）3只二等品均分到三个盒子有：,1,2,3,3x2x1种可能性。,余下的27只应该平 均分
9、到3个盒子中；,2018/10/12,31,第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选；,例1.10,2018/10/12,32,1.3.2 几何概型,例1.11 随机在单位圆内掷一点M,求M点 到原点距离小于1/4的概率.,1,1/4,解：,2018/10/12,33,几何概率的计算,作为一般的欧氏区域，m(A),作为A的测度（一维是长度，2维是面 积等）就得到几何概率计算方法：,如果把,2018/10/12,34,例1.12,某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内随时可能到达
10、，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。,解：,2018/10/12,35,Y=x+1,Y=x-2,解：,2018/10/12,36,例1.13蒲丰问题,1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，22127043.142。得数竟然是的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。,2018/10/12,37,平行线的距离a，针的长度l，求针与平行 线相交的概率。,怎样描
11、述针与直线相交的情况？,X表示针的中点与最近的一条平行线的距离,2018/10/12,38,例1.13蒲丰问题,2018/10/12,39,取a=2L，投针N次，如果有k次与直线 相交，则Phi的近似值为N/k,例1.13蒲丰问题,2018/10/12,40,零概率事件不一定不发生,在0,1区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少?,0,1,0.5,P=点(0.5)的长度/0,1区间的长度=0,2018/10/12,41,1.4.1 条件概率,例1.14 一个家庭中有两个小孩,已知其中 一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多 少?(假定生男生女是等可能的),解: 由题意,
12、样本空间为:,设B=其中一个是女孩,A=两个女孩,则 B=(M,F),(F,M),(F,F),A=(F,F),因此,要求的是:,P(A|B)=1/3,2018/10/12,42,定义1.3 （P.16）,设A，B是两个事件，且,则称,为事件B发生的条件下事件A的条件概率。,易知,条件概率具有如下性质:,2018/10/12,43,条件概率的性质,2018/10/12,44,1.4.2 乘法公式,2018/10/12,45,例1.16,2018/10/12,46,例1.16,2018/10/12,47,1.4.3 全概率与贝叶斯公式,例1.18 一在线计算机系统,有3条输入线, 其性质如下表:,
13、通讯线,通讯量份额,无误差的讯息份额,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一随机选择的进入讯号无误差地被 接受的概率;,2018/10/12,48,例1.18 (续),解: 设事件B:“一讯号无误差地被接受”,Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3,由题意，问题转化为，已知：,2018/10/12,49,例1.18 (续),我们的做法是把样本 空间分割成了3个不相 交的部分，这样，事件 B也被分割成3部分：,利用乘法 公式可得,2018/10/12,50,例1.18 (续),原问题简化为，已知：,2018/10/12,51,例1.
14、18 (续),(2)已知一讯号是有误差地被接受,则这一 讯号最有可能来自哪条通讯线路?,解：由（1），已知P(B)=0.99981，想,（本质是一个条件概率）,2018/10/12,52,定理1.1 全概率与Bayes公式,设Ai是样本空间的完备事件组,P(Ai)0,即,2018/10/12,53,例1.19,一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,求:,(1)第2次取出两个新球的概率,(2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,解:把第1次取球的所有可能情况,作为样本 空间的划分,Ai:第1次取出i个
15、新球,i=0,1,2,2018/10/12,54,例1.19(续),第1步: P(A0)=?, P(A1)=?, P(A2)=?,第2步: P(B|A0)=?, P(B|A1)=?, P(B|A2)=?,第3步: 写公式:,第4步: 利用Bayes公式计算第2问;,2018/10/12,55,例1.19 (续),一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,(1)令Ai:第一次取出i个新球,i=0,1,2,同理,(2)令B:第二次取出2个新球,计算P(B|Ai),2018/10/12,56,例1.19 (续),=0.2893,(
16、2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,=0.5333,2018/10/12,57,商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,课堂练习,解:设B:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.A0, A1, A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品.,2018/10/12,58,已知: P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1,由Bayes公式:,2018/10/12,59,医学统计分析，人群中患某种疾病的人
17、数 占总人数的0.5%，一种血液化验以95%的 概率将患有此病的人检查出阳性，但也以 1%的概率将不患此病的人检查出阳性。 现设某人检查出阳性，问他确实患有此病 的概率？,例1.20样本空间的另一种划分方式,将人群划分为:(有病的)A和(没有病)A,2018/10/12,60,1.5 事件的独立性,定义1.4,设A,B是随机试验E的两个事件，若,则称事件A，B 相互独立,性质:,2018/10/12,61,证明事件的独立性,B,A,2018/10/12,62,1.5.1 事件的独立性,两两独立与相互独立,定义1.5：设A1，A2，An(n=2)是n 个事件，如果Ai，Aj是其中任意两个事件，
18、(ij)有P(AiAj)= P(Ai)P(Aj) 则称这n个事件两两独立。,2018/10/12,63,注意相互独立与两两独立的区别,定义1.6 设A1，A2，An(n=2)是n个事件，如果,则称n个事件A1，A2，An相互独立。,2018/10/12,64,例如:三个事件的独立,若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。,2018/10/12,65,利用事件的独立性计算概率,例1.22敌机俯冲
19、时,被一门高射机枪击中的概率是0.05 ,现集中100门高射机枪, 求击中目标的概率。,解: 假设Ai:第i门击中,则所求事件为A,2018/10/12,66,独立性在可靠理论中的应用,(1) 串联系统,2018/10/12,67,独立性在可靠理论中的应用,(2) 并联系统,2018/10/12,68,例1.23 该系统由5个元件组成,每个元件独立地工作,正常工作的概率为r,求该系统的可靠性.,独立性在可靠理论中的应用,1,2,3,4,5,解:,2018/10/12,69,1.5.2贝努利概型,将随机试验重复进行n次,若每次的结果 互不影响(独立),每次试验结果只有两个 :“成功”与“失败”，即A与A，且满足 0P(A)1，这样的试验叫n重贝努利 试验。,定理1.3 n重贝努利试验中,事件A发生k 次的概率为:,2018/10/12,70,例1.25,从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:假设遇到红灯次数为X,所求的概率为,2018/10/12,71,定理1.4 多项概率公式,n 重独立试验中,每次试验可能的结果是,且,则,在n 次试验中各发生,次的概率为,其中,
