1、第三章 析因设计的部分实施和正交表,部分实施的原因：因子个数较多；因子的水平数较多；高阶交互效应不存在或极其微弱；,第一章析因设计的部分 实施和正交表,第一节 2k设计的部分实施第二节 3k设计的部分实施第三节 pk设计的部分实施第四节 正交表的并列第五节 拟水平法第六节 赋闲列法,一、2k设计的部分实施,定义：有k个因子且每个因子含有2个水平的析因试验设计称为2k设计。注意：2k设计所有水平组合的个数为2k。,水平数,因子个数,22设计与正交表L4(23),22设计的试验因子及其水平数： A：0水平，1水平； B：0水平，1水平； 注：水平组合又称为试验点。试验点的拉丁字母表示：,4个水平组
2、合:(i,j),i,j=0,1,22设计与正交表L4(23),yijk: m次重复试验中，在试验点(i,j)处第k次重复试验试验观察值。 2k试验的统计模型为：,因子的效应及其估计,定义：因子A的主效应： ,其估计量记为A；因子B的主效应： ,其估计量记为B；因子A和B的交互作用：其估计量记为AB。,因子的效应及其估计,记y11., y01., y10.,y00.为(1),a,b,ab,则有联合试验模型中的约束条件，我们可以得到：,因子的效应及其估计,记：显然，这三个对比是正交的，且他们的平方和为：,正交表L4(23),试验点的标准顺序：ab,a,b,(1),则在A，B，AB中对比的系数为,正
3、交表L4(23),表1.1该表的两种功能： 同行的数对代表一个试验点； 两个因子主效应估计量的对比代数符号。,正交表L4(23),正交表：它是一个满足下边两个条件的矩阵：1. 任意一列中不同数字的重复次数相等；2. 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的复次数相等。 L4(23)L4(23),行数,列数,水平数,正交表符号,正交表L4(23),正交表L4(23)的构造规律： 第一列：上半部分为0，下半部分为1. 二分列，记列名为A； 第二列：把第一列上下部分再一分为二，一半为0，一半为1。四分列，记列名为B； 第三列：由x3=x1+x2(mod 2)计算各分量的值，其中xi表示第i列分量的
4、数字。第一，二列交互列，记为列名为AB； 任意一列都可有其他两列用模2法则得到。 列名服从指数法则并模2取余规律。例如：BAB=AB2=A,23设计与正交表L8(27),23设计的因子及其水平数： A：0水平，1水平； B：0水平，1水平； 试验点 (i,j,k), i,j,k=0,1 C：0水平，1水平；试验点的拉丁字母表示：,23设计的统计模型,yijkl：m次重复试验中，与试验点(i,j,k)处第k次试验观察值。该试验的统计模型可表示为：,23设计的因子的效应和估计,定义因子A的主效应： ,其估计量记为A；因子B的主效应： ,其估计量记为B；因子C的主效应： ,其估计量记为C；,23设计
5、的因子的效应和估计,AB，AC，BC，ABC交互效应：,23设计的因子的效应和估计,记y111.,y011.,y101.,y001.,y110.,y010.,y100.,y000.为(1),a,b,ab,c,ac,bc,abc。由统计模型并联合模型中的约束条件可得诸效应的无偏估计量。,正交表L8(27),记abc,ab,ac,a,bc,b,c,(1)为试验点的标准顺序，诸效应的对比系数为：,正交表L8(27),正交表L8(27),构造规律：元素相加模2取余，列名相乘。,正交表L8(27)的交互作用列表,23设计的1/2实施,23设计包含8个试验点，3个单因子主效应，3个两因子交互效应和一个三因
6、子交互作用，当4个交互效应都不显著时，可以减少试验次数，用较小的正交表L4(23)作如下设计：这种试验设计的简便表示法成为表头设计。这个设计只做23设计的一半试验，称它为23设计的1/2实施。,23设计的1/2实施的定义对比,由正交表L4(23)可知C=AB ABC=1 此关系式称为23设计的1/2实施的定义对比，且称C(或AB)为AB(或C)的别名，记为C=AB。23设计的1/2实施别名关系表：部分实施由定义对比确定，所以部分实施试验必须指出定义对比,2k设计与正交表,2k(k3)试验设计的线性模型包括： k个主效应；个两因子交互效应；(交互作用)个三因子交互效应； (高阶交互作用)个k因子
7、交互效应。 共有2k-1个效应；试验点是k维空间中顶点用0或1表示的立方体的2k个顶点，试验点也可类似22或23设计用拉丁字母表示。,2k设计与正交表,效应无偏估计量对应的对比为：的展开式，其中最后项1用(1)代替，当某因子出 现在效应中时取“+”，否则取“-”。 诸效应的无偏估计量为:相应平方和为:,2k设计与正交表,正交表 及其交互作用列的构造: (以L16(215)为例),2k设计的部分实施,现实试验中，往往高阶交互作用和部分两因子交互作用都不显著，此时可选择一个试验点尽量少的2k设计的部分实施： 罗列感兴趣效应； 选择最小的而水平正交表安排试验。部分实施设计要求：所有效应都能得到估计而
8、不相互混杂； 表头设计中效应互不在同列，即互不为别名。,L8(27)主效应不与交互作用混杂的设计表,24设计中只有主效应和三个两因子交互效应都不 显著。 感兴趣的效应：A，B，C，D，AB，AC，BC。,例,提高某种化学产品产量的试验。本试验问题的响应变量是产量y。试验目的是对诸因子(包括感兴趣的交互作用)的重要性做出分析，并寻找对提高产量最有利的最优生产条件。所考虑的因子和水平如下：,分析：,24设计：5个因子，至少5列的最小正交表，L8(27)。 表头设计：不混杂原则即不同因子不同列； 先安排存在交互作用的因子。 表头设计：表头设计重复试验？(方差分析) 原则：无空白列需要重复试验，否则不必。,解：该试验所对应统计模型为：,用Minitab软件分析,方差分析结果：由方差分析表可知，只有因子C和AB显著。,由方差分析表可知，在 显著性水平下，只有因子C和交互效应AB对产品的产量有显著影响。又由均值主效应图和交互效应图可知C因子以均值为标准第2水平优于第1水平，交互效应A2B1以均值为标准优于其他交互作用，因此本实验问题的最有水平组合为A2B1C2D，其中D下标未标示说明D取任意水平都可以。,
