1、第一章 概率论的基本概念,1.1 随机试验,1.2 样本空间、随机事件,1.3 频率与概率,1.4 等可能概型(古典概型),1.5 条件概率,1.6 独立性,第一章 概率论的基本概念,引言：概率论是研究什么的？,确定现象,随机现象,自 然 界 现 象,在一定条件下必然发生的现象,在试验或观察前无法预知出现什么结果,例：向空中抛一物体必然落向地面；水加热到100必然沸腾；异性电荷相吸引；放射性元素发生蜕变; ,例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上；向同一目标射击,各次弹着点都不相同；某地区的日平均气温；掷一颗骰子，可能出现的点数； ,研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科,经过长期实践人们发
2、现: 尽管随机现象出现的结果是随机的, 无规律的, 但当大量观察同类现象后, 可以发现其确实存在某种规律性-随即现象的统计规律性。,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科；或者说是从数量化的角度来研究现实世界中的随机现象及其规律的一门应用数学学科。,4/13,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,实例 “用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,1.1 随机试验,1.试验: 在这里试验可指各种各样的
3、科学试验，也包括对事物特征的观察与检测等范围比较广泛,2.随机试验：如果试验具有如下特点：,(1)可重复性：在相同条件下可重复地进行;,(2)可观察性：每次试验的结果不止一个, 但事先能明确试验的所有可能结果;,(3)不确定性：进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现.,这种试验称为随机试验。常用字母 E 表示.,(注:后面所提到的试验都是指随机试验.),例,E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.,E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.,E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数.,E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,E5:记录某城市120急救电话台(某固定
4、)一昼夜内接接到的 呼叫次数.,E6:在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.,我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。,一、样本空间,随机试验E的所有可能结果组成的集合. 称为E的样本空间，记为S (或),1.样本空间:,2.样本点:,样本空间的元素，即E的每个可能结果，称为样本点,1.2 样本空间、随机事件,例 写出1.1节中所列的试验 Ei 的样本空间,试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.,S1=H, T（H表示出现正面， T表示出现反面）,S2= HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT,试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情
5、况.,S3=0,1,2,3,试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数.,试验E6:在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.,试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,S4=1,2,3,4,5,6,试验E5:记录电话台(某固定)一分钟内接到的呼叫次数.,S5=0,1,2,S6=t | t0 （t表示灯泡的寿命）,样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元素取决于试验的内容和目的,注,5.不可能事件: 空集称为不可能事件. 在每次试验中它都不发生,1.随机事件: 试验E的样本空间S的子集. 简称事件通常用字母A，B，C表示.,2.事件发生: 在每次试验中,当且仅当事件A中的一个 样本点出现
6、时，称这一事件A发生,3.基本事件: 由一个样本点组成的单点集.,4.必然事件: 样本空间 S称为必然事件在每次试验中它总是发生的.,二、随机事件,例1,E2:抛硬币三次,观察正面H、反面T出现的情况.,事件A1：“第一次出现的是T”，即A1=THH，THT，TTH，TTT,事件A2 ：“三次出现同一面”，即A2 =TTT，HHH,例2 试验E:“从4件产品中（2件正品，2件次品）任取两件，观察产品情况”。,事件 A: “两件都是正品”B: “至少有一件次品”,三、事件间的关系与事件的运算,(一)事件间的关系,1.事件的包含AB: 称事件B包含事件A，或A是B的子事件.其含义是: 事件A发生必
7、导致事件B 发生.,显然， 对于任何事件A有 A S,事件的相等A=B : 若 A B 且 B A .,2.和事件: AB称为事件A与B的和事件. 其含义是:当且仅当事件A,B 中至少有一个发生时,事件 AB发生.,类似地, (1) -事件A1, A2, ，An的和事件；,(2) -可列个事件A1, A2, ，An, 的和.,A,B,S,A,B,S,例如：在掷骰子试验中,记A:“点数为奇数”，B:“点数小于5”，,则 AB=1,2,3,4,5,3.积事件: AB称为事件A与事件B的积事件. 或记作AB. 其含义是:当且仅当A, B同时发生时，事件AB发生.,类似地, (1) ：事件A1, A2
8、, , An积事件；,(2) ：事件A1, A2, ，An, 积事件。,5.互不相容(互斥)的事件: 若AB= ，称事件A与B是互不 相容事件，或互斥事件，指事件A与事件B不能同时发生.,4.差事件: AB 称为事件A与事件B的差事件. 其含义是:当且仅当A发生、B不发生时，事件AB发生.,6.对立事件(互逆事件): 若AB=S且 AB=，则称事件A与B为互逆事件. 又称A与B的互为对立事件.,A的对立事件记作 .,A,B,B,A,B,A,(2) 对于任意事件A，显然,注 (1) 事件之间的关系可用文氏图表示；,(4),(3) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互不相容的,B,A,(二)
9、事件的运算法则,1.交换律：AB=BA, AB=BA ,4.德.摩根律(对偶律) ：,2.结合律：A(BC)=(AB)C; A(BC)=(AB)C ,3.分配律：A(BC)=(AB)(AC) ; A(BC)=(AB)(AC) ,5.对必然事件的运算法则：AS=S, AS=A 6.对不可能事件的运算法则：A=A,A=,AB =AB, AB=AB,例3 从大批产品中取产品检验,设事件Ak表示 “第 k 次取到合格产品” (k=1,2,3)，用Ak 表示下列各事件:,解：(1),(2),(3),(4),(2) B表示“三次中至少有一次取到合格产品”；,(1) A表示“三次都取到合格产品”；,(3)
10、C表示“三次中恰有两次取到合格产品”；,(4) D表示“三次中最多有一次取到合格产品”.,例4 化简下列事件：,解,对于一个随机事件A, 在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定. 但我们会问，在一次试验中事件A发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小为此，首先引入频率的概念，它是通过实验结果来说明事件发生的频繁程度，进而引出度量事件在一次试验中发生的可能性大小的数概率,1.3 频率与概率,一、频率,1.定义: 若在相同的条件进行n次试验, 其中随机事件A发生的次数为 n ( A发生的频数)，则称n/ n为事件A发生的频率，记作 ，即,2.性质,(2
11、) fn(S)=1,(1) 0fn(A)1,(3) 若A1, A2, , Ak 是两两不相容的事件，则,由频率的定义可知, 频率反映了一个随机事件在大量重复试验中发生的频繁程度. 例 “抛硬币”试验，设A表示“抛掷一枚硬币，其结果出现正面”，将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做3遍的结果如下：,大量实验证实: 当试验次数n逐渐增大时, 事件A发生的频率fn(A)呈现出稳定性, 逐渐稳定于某个确定的常数p -频率的稳定性. 频率的稳定性的事实说明了刻画随机事件发生可能性大小的数概率的客观存在性.,从上面的例子可以看出，试验次数n越大，出现正面的频率越接近0.5，即频率稳定于1/2 经验表明
12、：只要试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出现的可能性大小进行度量的客观基础为了理论研究的需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下度量事件发生可能性大小的概率的定义.,二、概率,1.定义 (概率的公理化定义)设E 是随机试验, 其样本空间S. 对于E的每一 事件A 赋于一个实数, 记为P(A), 称为事件A的概率, 如果集合函数P()满足下列条件:,(1)非负性：对于每一个事件A，有 P(A)0 ； (2)完备性: 对于必然事件S , 有 P(S)=1； (3)可列可加性: 设A
13、1, A2, 是两两互不相容的事件, 即对于 则有,P(A1A2 ) = P(A1) + P(A2) + ,(2) (有限可加性) 若A1, A2,An是两两互不相容的 事件, 则,2.概率的性质,(1) P()=0【注】反之不然.,(3) 设A, B是两个事件, 若A B , 则有,(5) (逆事件的概率) 对任一事件A，,(4) 对于任一事件A，有 P(A)1.,推论: 对任意事件A, B有,(6) (加法公式) 对于任意两事件A,B 有,P(AB )=P(A)+P(B)-P(AB),P(B A)=P(B)P(AB).,(减法公式),P(BA)=P(B)P(A) ;, P(B) P(A).
14、,推论1: 设A1, A2, A3为任意三个事件，则有：P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3),推论2: 对于任意n个事件A1, A2, An，则有：,P(A1A2 An)=,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙 二类问题的概率分别为 0.7和 0.2, 两类问题都能答 出的概率为0.1. 求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,由题设,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率;(2) 至少有一类问题能答出的概率;(3) 两类问题都答不出的概率.,(2),(3),P(A)=0.7
15、， P(B)=0.2, P(AB)=0.1,例2 (1) 已知 P(AB)=0, 求 P(ABC);(2) 已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6, 求 P(AB) ;(3) 已知 P(AB)=P(AB), P(A)=p, 求 P(B).,解: (1) 因为 ABCAB，由性质3知 0 P(ABC)P(AB)=0，所以 P(ABC) =0,1.定义：,(1) 试验的样本空间的元素只有有限个；(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 这种试验称为等可能概型或古典概型,1.4 等可能概型(古典概型),2.古典概型中事件A的概率的计算公式,设试验E的样本空间 S=e1,
16、e2,en，且每个基本事件发生的可能性相同，若A包含k个基本事件,即 则有,设E是试验，S是E的样本空间，若,若事件A发生，即把最强的两队拿出，将其余18个队分成两组，再将两个强队分别分在两组内，故事件A所包含的基本事件数为 ,例1 为了减少比赛场次，把20个球队分成两组，每组10个队 进行比赛，求最强的两个队分在不同组内的概率,注 要计算事件A的概率，必须清楚样本空间所包含的基本事件总数以及A所包含的基本事件数.,解 : 把20个球队分为两组，每组10队，共有 种分法. 所以，基本事件总数为 ,所以 P(A) =,= 0.526,设A=“最强的两个队分在不同组内”，,例2 在一批n个产品中，
17、有m个次品，从这批产品中任取 k个产品，求其恰有l个( l m)次品的概率,解: 从n个产品中任取k个产品，共有 种取法. 故基本事件总数为 ,设 A=“取出 k 个产品中恰有 l 个次品”,若事件A发生，即从m个次品中取 l 个次品，从n-m个正品中取k-l个正品，故事件A所包含的基本事件数为,所以 P(A) ,超几何分布公式,例3 一袋中有10只球, 其中4个红球, 6个白球, 从袋中取3次, 每次取一只. 按两种取法: (a)放回抽样; (b)不放回抽样取球，求 (1)取到的3个球都是白球的概率; (2)取到的3个球中有2个红球，1个白球的概率.,= 0.288,解 (a)放回抽样,(b
18、)不放回抽样,=0.3,=0.216,=0.167,例4 设袋中装有a只白球，b只红球, k个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样, (2)作不放回抽样，求第i(i =1,2, k)个人取到白球的概率。,解 (a)放回抽样,(b)不放回抽样,又由于一个数同时能被6与8整除,就相当于能被24整除,因此,例5 在12000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,解: 设A为事件“取到的数能被6整除”， B为事件“取到的 数能被8整除”，则所求概率为,由于, 故得,由于, 故得,于是所求概率为,由,得,例6 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去, 这
19、15名新生 中有3名是优秀生. 问 (i) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (ii) 3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?,解:(i),(ii),解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周内的任一天去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都是在周二和周五进行的概率为P = =0.0000003，即千万分之三.,例7 某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次来访接待都是在周二和周五进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,人们在长期的实践中总结得到的经验是: “概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的”-实际推断原理. 按实际推断原理，可以推断接待时间是有
20、规定的,1.5 条件概率,在对概率的讨论中，我们有时会碰到这样的情况，已知某一事件A 已经发生，要求另一事件B发生的概率, 则所求的并非 P(B), 而是附加了A 已发生的条件,这时所求的概率叫做条件概率，记作 P(B|A).,一、条件概率,引例 某班30名同学,其中男20名,女10名.身高1.70米以上者15名,其中男12名,女3名.任选一名学生,选出来后发现是个男生,问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少？,解：设事件A为“选出的是男生”，事件B为“选出的是身高1.70米以上”. 显然, P(A)=20/30.,而我们要求的是在设事件A发生的条件下，事件B发生的概率, 即P(B|A).
21、,由题意， P(B|A)=12/20,A,B,S,1.定义: 设A ,B 是两个随机事件,且P(A)0, 称,2.性质：条件概率P(|A)满足概率的三个基本属性:,由于条件概率符合概率定义的三个条件，所以前面所证明的一些概率性质对于条件概率也同样适用.,为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.,(1) 对于任一事件B，有P(B|A)0 (2) P(S|A)=1 (3)设B1, B2, 是两两不相容的事件，则有,例如,对于任意事件B1, B2，有： P(B1B2|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)-P(B1B2|A) 对于任意事件B，有: P(B|A)=1-P(B|A),例1 设某种
22、动物由出生算起活到20岁以上的概率是0.8，活到25岁以上的概率为0.4,动物现在已经20岁，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解 A=“活到20岁以上”，B=“活到25岁以上”， 由题意 P(A)=0.8， P(B)=0.4 因为 B A，故 AB = B所以 P(AB)=P(B)=0.4， 因此 P(BA)=,例2 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.,解 记A1=“第一次取出的是黑球”，A2=“第二次取出的是黑球”, (1)由题意直接可得,(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.,(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的
23、仍是黑球的概率;,(2),或利用公式：,或利用公式：,定理(乘法定理) 对于任意的事件A, B, 若P(A)0， 则 P(AB)=P(A)P(B|A),二、乘法定理,注 乘法公式可以推广到多个事件的情形:,1设A,B,C为事件，且P(AB)0, 则有P(ABC)=P(A) P(B|A)P(C|BA),2设A1, A2, An 为n个事件, 且P(A1A2An-1)0,-乘法公式,或 P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0),在某些问题中，条件概率是已知的或者是比较容易求得的，在这种情况下，就可以利用乘法公式来计算积事件的概率.,注,例3 今有3个布袋, 2个红袋, 1个绿袋. 在2个红
24、袋中各装60个红球和40个绿球，在绿袋中装了30红球和50个绿球，现任取1袋，从中任取1球，问是红袋中红球的概率为多少？,解 设A=“取到红袋”, B=“取到红球”, 所求概率P(AB).,显然，P(A)=2/3,P(B|A)=60/100=3/5,由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)= (2/3)(3/5)= 2/5 .,例4 今有1张电影票，4个人都想要，他们用抓阄的办法分这张票，试证明每人得电影票的概率都是1/4.,证明：设第i次抓阄的人为第i人，i=1，2，3，4 并设Ai=“ 第i个人抓到有 ”， i=1，2，3，4 (1) 显然 P(A1)=1/4 (2) 第2个人抓到有的必
25、要条件是第一个人抓到无，,因此,(3) 类似地，故,(4) 同样地，,一般地: 袋中有a只白球, b只红球, k个人依次在袋中取一球，则不论放回还是不放回，第i个人取到白球的概率为a/(a+b).,例5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率.,解: 设 Ai =“透镜第i次落下打破”，i=1,2,3,4, B=“透镜落下三次而未打破”.,故有,因为,例6 已知P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A|B)=0.5， 求 P(B|AB),解: 由乘法公式，
26、,P(AB)=P(B)P(A|B)=0.40.5=0.2，,三、全概率公式和贝叶斯公式,1.全概率公式,定义:设试验E , 样本空间S, B1,B2,Bn为E的一组事件. 若,则称B1,B2,Bn 为样本空间S的一个划分(完备事件组)。,上式称为全概率公式. 特别地，n=2,定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1,B2,Bn 为样本空间S的一个划分, P(Bi)0 (i=1,2,n), 则,注全概率公式是概率论的一个基本公式.直接计算P(A)不易时，可构造一完备事件组B1,Bn,利用这个公式来计算P(A).,2.贝叶斯公式,定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1,B
27、2,Bn 为样本空间S的一个划分,且P(A)0,P(Bi)0 (i=1,2,n),则,-贝叶斯公式,贝叶斯公式给出的是，一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因的可能性的大小.,例8 设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、 三箱、两箱依次为甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲厂、乙 厂、 丙厂生产的该种产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20. 从这 十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求(1)取得正品的概率;(2)已知取得正品，该正品是甲厂生产的概率是多少？,解 设A=“取得的是正品”, Bi=“该件产品是甲、乙、丙厂生产的”，i=1,2,3,显然，B1B2B3=S，
28、且B1、B2、B3互斥 由已知得：,P(B1)=5/10，P(B2)=3/10，P(B3)=2/10， P(A|B1)=9/10，P(A|B2)=14/15，P(A|B3)=19/20,由全概公式 P(A),=0.92,例9 甲胎免疫蛋白检测法(AFP)被普遍用于肝癌的早期诊断和普查. 已知肝癌患者经AFP诊断为肝癌的概率为95%, 而未患肝癌通过AFP被诊断为肝癌的概率为2%, 在人群中肝癌的发病率一般为0.4%, 现有一人经诊断为患肝癌, 求此人确实患肝癌的概率.,解：设 A=“此人患肝癌”， B=“经诊断为患肝癌”,由贝叶斯公式得,后验概率,前验概率,一般来讲，条件概率P(B|A)与概率
29、P(B)是不等的,即事件A，B中某个事件发生对另一个事件发生是有影响的. 但在许多实际问题中常会遇到两个事件中任何一个发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响, 此时P(B)= P(B|A)。,1.6 独立性,定义1 设A, B是两事件, 如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B为相互独立的随机事件.,注 1 当P(A),P(B)0时， A、B相互独立P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A);,2两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念.若P(A)0, P(B)0, 则A与B相互独立和A与B互不相容不能同时成立.,若四对事件A与B、A与B、B与 A、 A与B 中有一对独立，则另
30、外三对也独立. (即这四对事件或者都独立，或者都不独立).,在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义判断两事件是否独立,利用事件的独立性解决实际问题.,定理,证明,=P(A)-P(A)P(B),=P(A)1-P(B),(A与B独立),定义3 如果对于任意的k(kn),及任意的1i1i2ikn, 都有,定义2 设A1,A2,.,An是n个事件，如果对于任意的1i, jn , 有P(Ai Aj)= P(Ai )P(Aj ) 则称这n个事件两两相互独立.,则称这n个事件相互独立.,定义4 设A, B, C为三个事件，如果,P(AB)= P(A)P(B) P(AC)
31、= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C),则称事件A, B, C相互独立.,注 若n 个事件A1,A2 ,.,An 相互独立，则 (1) A1,A2.An两两独立,反之不然；(2) A1,A2.An中任意k个事件相互独立；(3)A1,A2.An中任意m (1mn)个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.,例1 设袋中有4个乒乓球，1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色.今从袋中随机地取一个球，设事件A=“取出的球涂有白色”，B=“取出的球涂有红色”，C=“取出的球涂有蓝色”，试验证事件A、B、C两两
32、相互独立，但不相互独立.,证明 事件A、B同时发生，只能是取到的球涂有白、 红、蓝 三种颜色的球，因而 P(AB)=1/4,同理 P(BC)=1/4 ,P(AC)=1/4 事件A发生，只能是取到的球涂有白色的球或涂三种颜色的球， 因而 P(A)=2/4=1/2, 同理 P(B)=1/2 , P(C)=1/2 , 即 P(A)P(B)=1/4=P(AB), 故事件A、B相互独立. 类似可证 P(AC)=P(A)P(C) , P(BC)=P(B)P(C) . 因此 A、B、C两两相互独立. 但是 P(ABC)=1/4, 而 P(A)P(B)P(C)=1/8所以, 事件A、B、C并不相互独立.,例2
33、 设某类高射炮，每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每门炮发射一次，且各门炮工作是独立的)，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机，至少需要几门炮？,解: 设需要n门炮,A= “敌机被击中”,Ai =“第i门炮击中敌机”，i =1,2,n,显然 A= A1A2An,于是要求n,使得,得 n=5.026, 因此至少需要6门大炮.,P(A)=P(A1A2An) 0.99,由于 而A1，A2，,An 是相互独立的，,所以 P(A)=1-P(A)=1-P(A1)P(A2)P(An)=1-,0.99,例3 一个元件能正常工作的概率称为此元件的可靠性,一个系统能正常工作的概率称为此
34、系统的可靠性. 现有6个元件如图连接，每个元件的可靠性为p, 如果各元件能否正常工作是相互独立的，求系统的可靠性.,1,6,5,4,3,2,解：设Ai=第i个元件正常工作，i=1,2,3,4,5,6，A=系统正常工作,=P(A1A2)+P(A3A4)+P(A5A6)-P(A1A2A3A4)-P(A1A2A5A6)- P(A3A4A5A6)+ P(A1A2A3A4A5A6),P(A)=P(A1A2A3A4A5A6),=A1A2A3A4A5A6,=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)+P(A5)P(A6)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) -P(A1)P(A2)P(A5)P(A6)-
35、P(A3)P(A4)P(A5)P(A6)+ +P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A6),例4 要验收一批(100件)乐器验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试误认为不纯的概率为0.01如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的试问这批乐器被接收的概率是多少？,解: 设 Ai =“随机取3件乐器,其中恰有i 件音色不纯”, i=0,1,2,3,则A0, A1, A2, A3 是S 的一个划分，,A = “这批乐器被接收”, 本题是求P(A).,
