1、近 世 代 数 (Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第7讲,第4节 群的同态,河北师范大学,第4节 群的同态,河北师范大学,复习：同态映（或单，或满）射，同构映射,假定,是集合,到,的一个满射，,，称,为,在,之下的象；,，称,在,之下的逆象.,为,定义：,设 是一个非空集合， 是其上一个代数运算。除用定义证明外，问是否有其它方法证明 对于 来说构成群？,定理1：设 对于代数运算 是一个群。与 对于它们的运算来说同态，即存在一个同态满射 ，则 对于 来说构成群。,证明：设,是群，有结合律，则,也满足结合律。因此群定义中的第1,2条
2、成立。,，因为 是同态满射，存在,是,的左逆元,也是群.,下证G中左单位元e的象 是 的左单位元。,任意给定 中元 ，证明存在左逆元。,定理的意义在于，要验证一个集合对所指的代数运算作成群，可找一个已知群，并通过同态来实现。,例1：设Z是整数集合，代数运算 ：任取整数a，b，规定,则Z对于上述代数运算构成一个群。,证明：设 是整数加群。,规定映射,则 是满射。,同态映射,例2 证明,关于运算做成群，其中,证明：取,则它是映射且为满射，而且,是同态满射，,因此,是群.,，作映射,由于它们运算都适合交换律，则只需验证六种情况，如,注1：定理中的 与 不能对调。 例如 为所有奇数构成的集合，对于普通
3、乘法不是群。 为单元素构成的群。但存在 到 的同态满射.,是,到,的同态满射，,全体正负奇数，,代数运算均为数的普通乘法,正奇数,1,，负奇数,-1,是群，,而,不是群.,又例如,注2:定理中的同态满射的条件也是必要的. 例： 为所有n阶可逆方阵构成的集合， 是所有n阶方阵构成的集合，两者对于矩阵 乘法而言，嵌入映射,是同态映射但它是单射。前一个是群而后一,个不是。,定义1：设 对于代数运算 是一个群。对于代数运算 来说是一个群。若存在一个 到 的满射（一一映射）是同态映射，则称 和 是群同态（同构）。,群,与,同态，,是,到,的同态满射，则,(1),定理2,而在同构映射下，两个单位元相互对应，互相对应的元的逆元也相互对应。,（3） 中元 的阶为n， 的象 的阶为m，有m|n。,注：群同构是群之间一种等价关系。,
