1、第 三 节 正项级数,一、正项级数的定义 二、积分判别法 三、比较判别法 四、比值判别法与根值判别法 五、Raabe判别法,重点：正项级数的判敛 难点：判别法的灵活应用,一、正项级数的定义,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件,定理1,部分和数列 Sn 为单调增加数列.,二、积分判别法,提示:,二、积分判别法,故原级数发散.,例1,解,练习：判敛,解,例2,重要级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,证明,即部分和数列有界,三、比较判别法,形式1：,不是有界数列,定理证毕.,比较判别法的不便:,须有可比较的级数.,证明,例3,形式 2（比较判别法的极限形式）:,证
2、明,由比较判别法的推论, 得证.,推论：,解,原级数发散.,故原级数收敛.,例4,例5,证明（1）,（2）,由（1）知,证明,四、比值判别法与根值判别法,1、比值判别法(达朗贝尔判别法),收敛,发散,比值判别法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,DAlembert, 1717-1783, 法国,注记：比值判别法又称达朗贝尔DAlembert判别法 .,数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析的主要开拓者。达朗贝尔为极限作了较好的定义，但他没有把这种表达公式化。波义尔做出这样的评价：达朗贝尔没有逃脱传统的几何方法的影响，不可能把极限用严格形式阐述；但他是当时几乎唯一一位把微分看成是函数极限
3、的数学家。,达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级数和发散 级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数 绝对收敛的方法-达朗贝尔判别法，即现在还使用的 比值判别法；他同时是三角级数理论的奠基人。达朗 贝尔也为偏微分方程的出现做出了巨大的贡献。1746年 他发表了论文张紧的弦振动是形成的曲线研究， 在这篇论文里，他首先提出了波动方程，并于1750年 证明了它们的函数关系。1763年，他进一步讨论了 不均匀弦的振动，提出广义的波动方程。,另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论等方面都 有所研究，而且他还很早就证明了代数的基本定理。达朗贝尔在数学领域的各个方面都有所建树，但他并没有严密和系统的进行深入
4、的研究，他甚至曾相信数学知识快穷尽了。但无论如何十九世纪数学的迅速发展是建立在他们那一代科学家的研究基础之上的，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。,达朗贝尔对青年科学家十分热情，他非常支持青年科学家研究工作，也愿意在事业上帮助他们。他曾推荐著名科学家拉格朗日到普鲁士科学院工作，推荐著名科学家拉普拉斯到巴黎科学院工作。达朗贝尔自己也经常与青年科学家进行学术讨论，从中发现并引导他们的科学思想发展。在十八世纪的法国，让达朗贝尔不仅灿烂了科学事业的今天，也照亮了科学事业的明天。,解,例6,比值判别法失效, 改用比较判别法,级数收敛.,2、根值判别法(柯西判别法),柯西，A.-L.（Augustin-Louis Cauchy ，17891857）,DAlembert, 1717-1783, 法国,证,例7,3、Cauchy判别法与DAlembert判别法的推广形式,五、Raabe判别法（拉阿伯判别法）,Raabe，拉阿伯，1801-1859，瑞士,作 业 P27: 1 (双), 2, 3(1,3), 4, 5, 8, 10.,
