1、1.1.2 曲线上一点处的切线,执教者：金志春,常熟市梅李中学,1.什么叫做平均变化率,几何意义：,平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,一般地，函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率,曲线y=f(x) 上两点 连线的斜率。,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,放大,放大,1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？,曲线有点像直线,2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 这种思维方式就叫做“逼近思想”。,直线,从上面的图形来看： 1）.曲线在点 P附近看上去几乎成了直线l,4）.用直线l的
2、斜率来刻画曲线经过p点时的变化趋势,3）.点P附近可以用这条直线l代替曲线,2）.继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,l,探究怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l,1）在点P附近能做出比PQ更加逼近曲线的直线l吗？,2）在点P附近还能做出更加逼近曲线的直线l吗？,如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.,y,O,x,P,Q,切线定义,随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C，,当点Q 无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线
3、l，,这条直线l也称为曲线在点P处的切线,这种方法叫割线逼近切线.,利用直尺，用割线逼近切线的方法作出 下列曲线在P点处的切线,P,P,P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？,试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率,Q,x,试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率,练习：试求f (x)=x2+1在x=1处的切线斜率,练习：试求f (x)=x2+1在x=1处的切线斜率,当x无限趋近于0时， 割 线 逼 近 切 线， 割线斜率逼近切线斜率,找到定点P的坐标设出动点Q的坐标,求出割线斜率,y,x,O,y = f(x),x,x0,x0+x,P,Q,f (x0+x) f (x0
4、),切线,割线,P（x0,f(x0),Q(x0+x,f(x0+ x),x0时,点Q位于点P的右侧,y=f(x),x0时,点Q位于点P的左侧,2.求出割线PQ的斜率 ,并化简.,求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤:,3. 令x 趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率,1.设曲线上另一点Q(x0 +x,f(x0 + x),M,（即 y),变式1.已知函数f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程,变式2.已知函数f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程,练习：已知f(x)= ,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？,练习.已知函数f(x)=(1-x2)0.5,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率和切线方程,小 结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲) 2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。,即区间长度趋向于0,令横坐标无限接近,函数在区间xP,xQ(或xQ,xP）上的平均变化率,P点处的瞬时变化率,(导数),课后作业,
