1、二、无界函数的广义积分,定积分,积分区间为闭区间,被积函数为有界函数,推广,一无限区间上的广义积分,广义积分,三、,6.9 广义积分与 函数,函数,定义1,若,则称此极限为f (x)在,此时也称,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称,发散 .,类似地 ,则定义,一.无限区间上的广义积分,(无穷限广义积分),上的广义积分,存在 ，,上连续 ,记作,即,上连续 ,设f (x)在,设f (x)在,则称二者之和为,与,都收敛，,如果,上连续，,设 f (x)在,f (x)在,则有,收敛，,上的广义积分，,即,记作,取,的计算法：,否则称,发散 .,此时也称,说明:,F (x)是 f (x)的原函数,用定
2、义；,用以下,类似于,牛莱公式,的表达式：,其中，,例1. 求广义积分,解:,法1：,法2：,例2. 计算广义积分,解:,另法:,例3.广义积分,解：,当,取什么值时收敛，,取什么值时发散 .,当,发散 .,当,时,当,收敛 ,时,特例：,发散 .,都收敛；, 1 时,其值为,定义2.,存在 ,这时也称广义积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,称广义积分,发散 .,类似地 ,如果,在(a ,b上的广义积分,则定义,则称此极限为 f (x),(瑕积分),二、无界函数的广义积分,（点a为瑕点）,设f (x)在(a ,b上连续，,即,记作,设f (x)在a ,b)上连续，,(点b为瑕点),若广义积分,
3、与,都收敛，,则定义广义积分,此时也称广义积分,收敛；,否则称,发散或不存在。,设f (x)在a ,b上,且,外连续，,（点c为瑕点）,说明：,，先判,除点c,广义积分,瑕积分的记号与定积分的记号,完全一样！,是定积分,还是广义积分？,当f (x)为商时，,易是广义积分,下述解法是否正确:, 积分收敛,例4. 计算广义积分,解：,瑕点为,下述解法是否正确:,例5. 讨论广义积分,的收敛性 .,解:,广义积分,发散 .,为瑕点,发散 .,函数:,三.,是參变量r,的函数，,称为,函数。,结论：1.此积分是收敛的。,这是一个递推公式，利用它，计算,函数的任一个,函数值都可以化为计算,函数在,上的函数值。,2.,重要性质：,例：,特例：,例6.,计算下列各值：,解：,解：,令,则,注意:,在概率论中称为普阿松积分，,（2）令,利用二重积分可证明该积分存在且等于,因此,可写成其他形式，,例如:,设,例7,计算下列积分,
