1、第 1 页 共 20 页高考仿真理科数学模拟测考卷 2(2)若 ABC 的面积为 3,求 b 的值.18为了解某校高三甲、乙两个小组每天的平均运动时间,经过长期统计,抽取 10 天的数据作为样本,得到甲、乙两组每天的平均运动时间(单位:min)的茎叶图如图所示.(1)假设甲、乙两个小组这 10 天的平均运动时间分别为 t1,t2,方差分别为,.(i)比较 t1,t2 的大小;(ii)比较,的大小( 只需写出结果);(2)设 X 表示未来 3 天内甲组同学每天的平均运动时间超过 30 min 的天数,以茎叶图中平均运动时间超过 30 min 的频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望.19如图,
2、在平行四边形 ABCD 中,BC=2AB ,ABC=60,四边形 BEFD 是矩形,且 BE=BA,平面 BEFD平面 ABCD.第 5 页 共 20 页(1)求证:AECF;(2)求二面角 A-EF-C 的平面角的余弦值.20在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 E:+y2=1 上的非坐标轴上的点,且 4kOAkOB+1=0(kOA,kOB 分别为直线 OA,OB 的斜率).(1)证明:+,+均为定值;(2)判断 OAB 的面积是否为定值,若是,求出该定值; 若不是,请说明理由.21已知函数 f(x)=x2+mx+lnx.(1)若函数 f(x)不存在
3、单调递减区间,求实数 m 的取值范围;(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x10,求不等式 f(x)5 的解集.第 7 页 共 20 页参考答案1.B【解析】本题考查集合的补运算、真子集的概念.求解时先求出集合 A,再计数即可.注意试题所求的是真子集的个数.由全集 U=1,2,3,4,5,UA=1,2知,A =3,4,5,所以集合 A 的子集有 8 个,真子集有 7 个.2.A【解析】本题考查复数的除法运算及其几何意义,属于基础题.求解时先求出复数 z的代数形式,再找复数 z 在复平面内对应的点.解法一 由(1+i)z=2i 得,z=i(1-i)=1+i,故在复平面内 ,复数 z 对应
4、的点的坐标为(1,1),选A.解法二 设 z=a+bi(a,bR),由(1+ i)z=2i 得,a-b+ (a+b)i=2i,所以 a-b=0,且 a+b=2,解得 a=b=1,所以 z=1+i,故在复平面内,复数 z 对应的点的坐标为(1,1),选 A.3.B【解析】本题考查特称命题的否定,属于基础题.所给命题是特称命题,因此其否定一方面要把“ 特称” 改“全称”,另一方面要否定结论,故其否定应该为 “对任意的 R,函数 f(x)=tan(x+)的图象都不关于点(,0)对称”.4.B第 8 页 共 20 页【解析】本题考查向量的数量积以及投影的求法,属于基础题.解题时,根据坐标求出向量 b
5、的模及向量 a,b 的数量积,然后求投影.因为 b=(-,1),b(a-b)=-3,所以|b|=2,ab=1.又 a 为单位向量,则向量 b 在向量 a 方向上的投影为=1.5.A【解析】由题意知,圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1,1) 到直线 l 的距离减去圆的半径,即-.6.B【解析】本题主要考查等比数列的通项公式等知识,意在考查考生的基本运算能力.熟练掌握等比数列的通项公式是解决此类问题的关键.设等比数列a n的公比为 q,由S2=3,S3-S1=6,得 a1+a2=3,a2+a3=6,则 q=2,代入 a1+a1q=3 得 a1=1,所以 an=2n-1,a6=25
6、=32.7.D【解析】本题考查几何体的三视图与直观图、柱体的体积公式等.由三视图可知,该几何体是一个半径分别为 2 和的同心圆柱,即大圆柱内挖掉了小圆柱.两个圆柱的高均为 1,所以该几何体的体积为 41-()21=,选 D.8.A【解析】本题考查线性规划的相关知识.求解时先根据约束条件画出可行域,再根据题意列出不等式组进行求解.第 9 页 共 20 页画出可行域如图中阴影部分所示,易知 A(2,6),B(2,-2),C(-2,2),由于 z=ax+y 的最大值为 2a+6,最小值为 2a-2,故,从而-1a1,故选 A.9.B【解析】本题考查三角函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换等.首
7、先利用函数图象确定函数解析式中各个参数的取值,然后根据平移后函数的性质确定平移的单位长度.由图可设 A(x1,3),B(x2,-3),所以|AB|=10,解得|x 1-x2|=8,所以 T=2|x1-x2|=16,故=16,解得 =.所以 f(x)=3sin(x+),由 f(2)=0 得 3sin(+)=0,又-,所以 =-.故 f(x)=3sin(x-),将 f(x)的图象向右平移 t(t0)个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 g(x)=f(x-t)=3sin(x-t)-=3sinx-(t+).由题意得,函数 g(x)的图象关于 y 轴对称,所以t+=k+(kZ),解得 t=8k+2(k
8、Z),故正数 t 的最小值为 2,选 B.10.B【解析】本题考查旋转体的体积的求解等,考查考生的空间想象能力和基本的运算能力.由旋转体的定义可知,阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥.该圆柱的底面半径 R=BA=2,母线长 l=AD=2,故该圆柱的体积第 10 页 共 20 页V1=222=8,半球的半径为 1,其体积 V2=13=,圆锥的底面半径为 2,高为 1,其体积 V3=221=,所以阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成几何体的体积 V=V1-V2-V3=6.11.B【解析】本题考查数列的通项公式及前 n 项和,考查考生的运算求解能力,属于中档题.解
9、题时,通过(3-a n+1)(3+an)=9 可知数列为等差数列,计算即得结论.因为(3-an+1)(3+an)=9-3an+1+3an-an+1an=9,所以 3an+1-3an=-an+1an,两边同时除以 3an+1an 得-=-,即+.又 a1=3,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以 Sn=n+,故 S6=7.12.A【解析】本题考查基本初等函数的图象与性质、函数零点的概念等,考查考生的数形结合思想.求解时将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题进行求解.因为 f(x)=|lnx|-ax=0|lnx|=ax,作出函数 y=|lnx|,y=ax 的图象如图所示,不妨设 x10,
10、因此|lnx 1|=-lnx1,|lnx2|=lnx2.故 lnx1x2=lnx1+lnx2=-0,则 f(x)=log3x+m,由 ff(x)-log3x=4 可得 f(m)=log3m+m=4,即 m=34-m,解得 m=3,所以 f(x)=log3x+3,f(x)=,从而 f()=1,即所求切线的斜率为 1.16.1【解析】本题考查了抛物线的方程和性质、直线与抛物线的位置关系等.解题的思路是先利用|AF| =4|FB|得到直线 l 的斜率,从而得到 AB 的长以及点 O 到直线 AB 的距离,再通过面积建立关于 p 的方程,即可求解.抛物线 y2=2px 的焦点 F(,0),准线 x=-
11、.如图,过 A,B 作准线的垂线 AA,BB,垂足分别为 A,B.过点 B 作 BHAA ,交 AA于 H,则|BB|= |HA|.设|FB|=t,则|AF|=4 t,|AH|= |AA|-|AH|=4t-t=3t.又|AB|=5t,在 RtABH 中 ,cosAAB =,tanAAB=.则可得直线 AB 的方程为 y=(x-),第 13 页 共 20 页由得 8x2-17px+2p2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x 1+x2+p=+p=.又点 O 到直线 AB 的距离为 d=|OF|sin AAB=.S AOB=,又 SAOB=,故 p2=1,又 p0,p=1.1
12、7.(1)在 ABC 中,0t2.(ii)由茎叶图可知,甲组的数据较集中,乙组的数据较离散,所以.(2)由茎叶图可知,样本中甲组同学每天的平均运动时间超过 30 min 的人数为 3,所以频率为=0.3.由题意得 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,XB(3,0.3),所以 P(X=0)=0.300.73=0.343,P(X=1)=0.310.72=0.441,P(X=2)=0.320.71=0.189,P(X=3)=0.330.70=0.027,所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.027EX=00.343+10.441+20.189+30.02
13、7=0.9.【解析】本题考查平均数和方差的大小比较,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.(1)(i)由茎叶图分别求出 t1,t2 的值,进而比较大小;(ii) 由茎叶图得到甲组的数据较集中,乙组的数据较离散,由此能比较,的大小.(2)由题意得 X 的所有可能取值,分别求出相应的概率,进而得分布列和数学期望.【备注】新课标全国卷 中,概率与统计解答题往往将统计与概率结合在一起考查,大都与频率分布直方图、茎叶图和离散型随机变量的分布列有关,复习时应熟练掌握统计的基础知识和基本思想,熟悉统计数据的处理方法,准确理解各种分布图表的意义,掌握常见概率模型的计算,牢记数学期望和方差的计算
14、公式.第 15 页 共 20 页19.(1)解法一 连接 AC,分别取 EC,EF,BD 的中点为 G,M,N,连接 GM,GN,MN,则GMFC ,GNAE ,如图 1.由题意,易证 BEAB ,不妨设 AB=1,则 GM=GN=,MN=BE=1,由勾股定理的逆定理知 GMGN.故 AECF.解法二 不妨设 AB=1,则=(+)(+)=+=-1+1=0.因此 AECF.解法三 如图 2,将原几何体补成直四棱柱,则依题意,其侧面 ABEG 为正方形,对角线 AE,BG 显然垂直,故 AECF.解法四 连接 AC,根据题意易证 ABAC,BE平面 ABCD,如图 3,建立空间直角坐标系,不妨设
15、AB=1,则 A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,0),F(-1,1),所以=(1,0,1),=( -1,0,1),从而=(1,0,1)(-1,0,1)=0,故 AECF.(2)连接 AC,根据题意易证 ABAC ,BE平面 ABCD,如图 3,建立空间直角坐标系,不妨设 AB=1,则 A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,0),F(-1,1),所以=(1,0,1),=( -1,1),=(1,-,1),=(-1,0,1),设平面 AEF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),第 16 页 共 20 页由 n1=0,且 n1=0,得,取 x1=,则 y1=2,z1=-,得平面 A
16、EF 的一个法向量为 n1=(,2,-),同理可求得平面 CEF 的一个法向量为 n2=(,2,).记二面角 A-EF-C 的平面角为 ,由图可知, 为锐角 ,则 cos=.【解析】本题考查线线垂直的证明、二面角余弦值的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.【备注】立体几何解答题主要围绕线面位置关系的证明以及空间角的计算展开,在线面位置关系中,垂直关系是核心,也是新课标高考命题的热点,空间角主要考查二面角,可利用传统法和向量法求解.20.(1)依题意 ,x1,x2,y1,y2 均不为 0,则由 4kOAkOB+1=0,得+1=0,化简得 y2=-,因为点A,B 在椭圆上,所以+4=4 ,
17、+4=4 ,把 y2=-代入,整理得(+4)=16.结合得=4, 同理可得 =4,从而+=4 +=4,为定值,+=1,为定值.(2)SOAB=|OA|OB|sinAOB=|x1y2-x2y1|.由(1)知=4,=4,易知 y2=-,y1=或 y2=,y1=-,SOAB=|x1y2-x2y1|=|+2|=1,第 17 页 共 20 页因此OAB 的面积为定值 1.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等.(1)可通过已知条件“4k OAkOB+1=0”以及椭圆上点的坐标关系确定 x1,y1,x2,y2 之间的数量关系,进而进行定值的证明;(2) 先求出三角形面积的表达式 ,通过
18、合理变形,再结合点在椭圆上进行求解.21.(1)依题意 ,x0,且 f(x)=x+m+.记 g(x)=x2+mx+1,若 =m2-40,即-2m2,则 g(x)0 恒成立,f (x)0 恒成立,符合题意;若 =m2-40,即 m2 或 m2 时,x 2+mx+1=0 有两个不等的负根,符合题意,当 m0,则 f(x)=|x|+|x-a|=,此时函数 f(x)的最小值为 a,故 a=3;若 a0,则 a=3,f(x)5|x|+|x-3|5,若 x3,则|x|+|x-3| 52x-35,解得 3x4;若 0x3,则|x|+|x-3|535 恒成立,所以此时的解集为x|0x3;若 x0,则|x|+|x-3|53-2 x5,解得-1x0.综上,所求解集为x|- 1x4.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想.【备注】在高考中,不等式选讲的考查方向主要有解绝对值不等式(一般是两个绝对值的和或差)和不等式的证明问题等.求解这类问题的关键是去绝对值,不等式的证明大多是利用基本不等式或柯西不等式来实现.
