1、匿堡罂霍霪鲨釜幽!垡幽唑盥 一理论前沿分块矩阵与矩阵秩数刘彦华(吉林广播电视大学松原分校教学处 吉林松原 1 31 200)摘要：本文应用分块矩阵方法证明了一秉列矩阵秩敦定理。关键词：分块矩阵 矩阵的秩数 单位阵 可逆矩阵中图分类号：G 7 2 8 文献标识码：A 文章编号；16739795(2011)03(a)一0094一ol关于矩阵秩数的一系列定理。有着各种各样的证明方法。有的应用向量线性无关组证明，有的用卉次线性方程组基础解系证明，也有的用矩阵初等变换和高矩阵来证明的，也有用向量空间基底维数加以讨论的。本文应用矩阵分块方法证明这些定理，非常简单有力，显示了矩阵分块方法的用途。1预备知识引
2、理l：秩彳口min(秩A，秩B)r4 0引理2：秩A+秩B秩Ic BI I秩苫三H习。引理3：秩l曰DI。秩I曰oII阳c1 rD c1特别地，秩【E刮。秩l占副。2足理的分块证明4 DI定理l：秩lD口12秩A+秩B证明：设秩A=r，秩B=8，存在可逆矩阵置Ql及昱Q2使弓彳奶=E D，昱一幺=E D，于是暑黑E a鲁昝r互一D故秩lD口12秩A+秩B。定理2：设A，B都是所疗矩阵，则秩(A+B)秩A+秩B。帆因为慨E#班卜口鼢，由弓l理l及定理1有秩(A+B)秩ID口12秩A+秩B。I彳Dl推论l：设A，B都是脚刀矩阵，女秩A一秩B秩(AB)。证明：由定理2，秩A=【(AB)+B】(AB)
3、+秩B。定理3：设A是埘竹矩阵，B是脓s矩阵，且AB=0，则秩A+秩Bn。r彳DrE曰1 r彳D1证明：由于AB。o有IE D 0D DI-lE口I，由定理2：有秩A+秩B秩I三三fl：吕I：秩I呈吕I=一。由定理2：有秩A+秩B秩IE口IslE D12秩IE D|-一。推论2：设A是n阶方阵，且一2=层，则秩(A+E)+秩(AE)=n。证明：由于42=知(A+E)(AE)=O，由定理3有秩(A+E)+秩(AE)n，另一方面，由42=E知A可逆，有n=秩(2A)=秩【(A+E)+(AE)】。再由定理2有：n=秩(2A)=秩【(A+E)+(AE)】秩(A+E)+秩(AE)。故有秩(A+E)+秩(
4、AE)=nI推论3：设A是n阶方阵，且彳2：彳则秩A+秩(AE)=n。证明：由于彳2=彳，知A(AE)=O， 由定理3有：秩A+秩(AE)nl另一方面，由于秩(AE)=秩(EA)，由定理l，有n=秩E=秩【A+(EA)】秩A+秩(EA)=秩A+秩(AE)，故有，秩A+秩(AE)=n。定理4：设A是聊疗矩阵，B是玎J矩阵，则秩(AB)秩A+秩Bnr彳彳BrE D 1 r4 D证明：因为b D JLDEJ2瞄口J，由引理2及3得：秩A+秩B秩b曰J2秩k阻D 秩E=秩(AB)+n，一肋I D一彳占lD l_秩I E D 2秩(AB)+即秩(AB)秩A+秩Bn。定理5：设A，B，C依次是所一，刀s，
5、sf矩阵，则秩(ABc)秩(AB)+秩(BC)一秩B。r一占一口cTE cr彳口 D 1证明：因为l口 D l D一晶|-l口曰cl，由定理2，3及定理l有r4B D1 r一口爿口c1秩(AB)+秩(Bc)口 口c 2秩I占 D 2秩(ABc)+秩B，即秩(ABC)秩(AB)+秩(BC)一秩B。定理6：设A、B都是n阶方阵，则秩(ABE)秩(AE)+秩(BE)。r彳一E曰一占T曰D证明：因为l D 口一ElE DI=秩(ABE)秩l口一层 D I秩(BE)。 。即秩(ABE)秩(AE)+秩(BE)。定理7：设A、B都是n阶方阵，则秩(AB+A+B)秩A+秩B。溉因为御踏肋蔷丑舭口、由引理l及定
6、理l有秩(AB+A+B)lB DI秩ID曰I=秩A+秩B，即：秩(AB+A+B)秩A+秩B。定理8：设A是m以矩阵，B是刀J矩阵，则秩(AB)秩A+秩8。证明：因为(E E)ID口12(A B)。T彳们由定理l有秩(AB)秩lD口l-秩A+秩B。参考文献【l】澍帮杰线性代数【M】人民教育出版社，2001【2】任化民线性代数习题讲义【M】吉林大学出版社，2005作者简介：刘彦华：吉林松原人，松原广播电视大学教师，副教授。主要研究方向：经济数学，高等数学。94 中国科教创新导刊 chlna EducatIon Innovation Hera旧秩有吨理引秩由卜a篙。万方数据分块矩阵与矩阵秩数作者：
7、刘彦华作者单位： 吉林广播电视大学松原分校教学处,吉林松原,131200刊名： 中国科教创新导刊英文刊名： CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD年，卷(期)： 2011(7)参考文献(2条)1.谢帮杰 线性代数 20012.任化民 线性代数习题讲义 2005本文读者也读过(10条)1. 杨昌华 保矩阵秩等序的加法满射学位论文20112. 沈天翔.赵怡.朱仲良 动力学-光谱两维数据秩分析及其相关应用的研究期刊论文-广西师范大学学报(自然科学版)2003,21(z4)3. 张云飞.张晔.ZHANG Yun-Fei.ZHANG Ye 一种基于矩阵秩特征的伪目标滤除方法期
8、刊论文-哈尔滨工业大学学报2005,37(6)4. 曾文建.郭艳凤.张明俊.ZENG Wen-jian.GUO Yan-feng.ZHANG Ming-jun 广义Fibonacci数列与矩阵的秩期刊论文-广西工学院学报2008,19(4)5. 连德忠 四元数向量和矩阵的秩期刊论文-数学研究2003,36(3)6. 廖力夫.谢水波.杨静.袁金涛.LIAO Li-fu.XIE Shui-bo.YANG Jing.YUAN Jin-tao 酸度-光谱双线性数据矩阵秩消失因子分析法定量分析混合物中的铀期刊论文-核化学与放射化学2007,29(3)7. 蒋永泉 互素多项式在矩阵秩中的应用期刊论文-徐州师范大学学报(自然科学版)2004,22(3)8. 翟岩慧.曲开社.曹桃云 基于矩阵秩的概念格生成算法期刊论文-电脑开发与应用2006,19(5)9. 朱庆喜 卢卡斯(Lucas)数列若干问题研究学位论文200910. 刘鹏.刘定生.李国庆.LIU Peng.LIU Ding-sheng.LI Guo-qing 基于矩阵秩估计偏移量的频域超分辨率重建期刊论文-计算机工程2009,35(15)本文链接：http:/
