1、1 第二章 线性规划建模及单纯形法 1 将下列线性规划问题化为标准型 (1)Max z=3 x1+5x2-4x3+2x4 0,95341322318362:.421432143214321xxxxxxxxxxxxxxxts 引入松弛变量： 33365 ;, xxxxx 令 标准型为： 43321 24453 xxxxxM a x z 0,9533413222318262:.654332143321643321543321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts 321 25i n f)2( xxxM 0,095326423:.21321321321xxxxxxxxxxxts 令 3
2、21 25, xxxM a x zfz 则 引入松弛变量： 3332254 ,;, xxxxxxx 令 标准型为： 3321 225 xxxxM a x z 0,953264423:.54332133215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts 4321 243i n f)3( xxxxM 2 0,0,152342722351232:.421432143214321xxxxxxxxxxxxxxxts 令 fz 4321 243 xxxxM a x z 51232 4321 xxxx 7223 4321 xxxx 引入松弛变量： ;, 65 xx 令 33344 , xx
3、xxx 标准型为： 43321 2443 xxxxxM a x z 0,15233427222351232:.654332143321643321543321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts 2. 求出以下不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点） 0,124326332)1(321321321xxxxxxxxx 0,1243263325432153214321xxxxxxxxxxxxxA= 10432 0133254321 PPPPP 32 32211 PPB 42 32312 PPB 02 12413 PPB 12 02512 PPB 43 33325 PP
4、B 03 13426 PPB 13 03527 PPB 04 13438 PPB 3 14 03539 PPB 10 015410 PPB 31232 6320xB223121215431 xxxx xxxx 得的基本解为：令对应 即 T000323 同理对应 TB 000 718762 的基本解为 对应 TB 0180063 的基本解为 对应 TB 1800034的基本解为 同时又为基本可行解 对应 TB 006405 的基本解为 对应 TB 060406 的基本解为 对应 TB 600207 的基本解为 同时又为基本可行解 对应 TB 033008 的基本解为 对应 TB 402009的基
5、本解为 同时又为 基本可行解 对应 TB 12600010 的基本解为 同时又为基本可行解 （ 2）0,123218320,1232183254321521432132121321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 10032 0132154321 PPPPPA 32 21211 PPB 02 31312 PPB 02 11413 PPB 12 01514 PPB 03 32325 PPB 03 12426 PPB 13 02527 PPB 10 03538 PPB 4 10 01549 PPB 74827301212165431 1232 1820xB xxxx xxxxx 得的基本解
6、为：令对应 T0000748730 同时又为基本可行解 同理， TB 0008062 的基本解为：对应 TB 00240063 的基本解为：对应 TB 048000184 的基本解为：对应 同时又为基本可行解 TB 00040 3105 的基本解为：对应 同时又为基本可行解 TB 00100406 的基本解为：对应 同时又为基本可行解 TB 01500407 的基本解为：对应 TB 01206008的基本解为：对应 同时又为基本可行解 TB 012180009 的基本解为：对应 同时又为基本可行解 3. 用图解法求解以下线性规划问题 X2 (1) Max z= 3x1 -2 x2 2 s.t:
7、 x1 + x2 1 (A) 1 x1+2 x2 4 (B) x1 ， x2 0 0 1 2 3 4 x1 可行域为空集，无可行解，原问题无最优解。 A B (2) Min f= x1 - 3x2 X2 D s.t: 2x1- x2 4 (A) 5 C x1 + x2 3 (B) B 4 x1 4 (C) 3 A x2 5 (D) 2 x1 ， x2 0 1 Z* 由图可知最优解为 A,B 两直线的交点即 31*3237 zT 0 1 2 3 4 5 6 x1 5 (3)Max z= x1+ 2x2 X2 A s.t: 2x1- x2 6 (A) 8 C 3x1+ 2x2 12 (B) B 7
8、 x1 3 (C) 6 x1， x2 0 5 从图中可知，最优解为 12,60 * zT 4 3 2 1 (4)Min z=- x1+3 x2 0 1 2 3 4 5 x1 s.t: 4x1 + 7x2 56 (A) 3x1-5x2 15 (B) x1， x2 0 由于可行域无界，从图中可知，目标函数无界。 8 E 1 A 0 B 5 15 x1 4 以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解 Max z=2 x1+ x2 - x3 s.t: x1+ x2 +2x3 6 x1+ 4 x2 -x3 4 x1 ， x2 ， x3 0 化为标准形 Max z=2 x1 + x2
9、 -x3 s.t: x1+ x2 +2x3 +x4=6 x1+ 4 x2 -x3 + x5=4 x1 ， x2 ， x3 ， x4， x5 0 5432110141 01211 PPPPPA 41 11211 PPB 11 21312 PPB 01 11413 PPB 11 01514 PPB 14 21325 PPB 04 11426 PPB 14 01527 PPB 01 12438 PPB 6 11 02539 PPB 10 015410 PPB 共 10 个基 322320121215431 44 60xB xxxx xxxx 得的基本解为：令对应 即 T00032320 同理 对应
10、TB 000 323142的基本解为 同时为基本可行解， 326z 对应 TB 020043的基本解为 同时为基本可行解， 8z 对应 TB 200064 的基本解为 对应 TB 000 9209145的基本解为 同时为基本可行解， 32z 对应 TB 050106的基本解为 同时为基本可行解， 1z 对应 TB 2000607 的基本解为 对应 TB 0144008 的基本解为 对应 TB 703009的基本解为 同时为基本可行解， 3z 对应 TB 4600010 的基本解为 同时为基本可行解， 0z 最优解为 000 32314* x 326*z 5 用单纯型法求解以下线性规划问题 （
11、1） Max z=3 x1+2 x2 Max z=3 x1+2 x2 0,53332:.0,5332:.43214212321212121xxxxxxxxxxtsxxxxxxts CB XB b 3 2 0 0 X1 X2 X3 X4 0 0 X3 X4 3 5 2 -3 1 0 -1 1 0 1 1.5 - -z 0 3 2 0 0 X1 X4 1.5 6.5 1 -3/2 1/2 0 0 -1/2 1/2 1 -z -4.5 0 13/2 -3/2 0 7 a21与 a22 都小于 0，原问题没有最优解 32 2)2( xxM axz 32 2xxMa xz 0,1221243:.3213
12、2321xxxxxxxxts 0,1221243:.4321432321xxxxxxxxxxts CB XB b 0 1 -2 0 X1 X2 X3 X4 0 0 X1 X4 12 12 1 3 4 0 0 2 -1 1 4 0 -z 0 0 1 -2 0 1 0 X2 X4 4 4 1/3 1 4/3 0 -2/3 0 -11/3 1 -z -4 -1/3 0 -10/3 0 4z4040x * 最优值最优解为 T 321 2)3( xxxM a x z 321 22 xxxM a x z 0,936212:.32121321321xxxxxxxxxxxts 0,936212:.654321
13、62153214321xxxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b 1 -2 1 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 0 0 X4 X5 X6 12 6 9 1 1 1 1 0 0 2 1 -1 0 1 0 -1 3 0 0 0 1 12 3 - -z 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 0 X4 X1 X6 9 3 12 0 1/2 3/2 1 -1/2 0 1 1/2 -1/2 0 1/2 0 0 7/2 -1/2 0 1/2 1 6 - -z -3 0 -5/2 3/2 0 -1/2 0 1 1 0 X3 X1 X6 6 6 15 0 1/3 1 2/3 -1
14、/3 0 1 2/3 0 1/3 1/3 0 0 11/3 0 1/3 1/3 1 -z -12 0 -3 0 -1 0 0 Tx 1500606* X5为非基变量，其检验数为 0，可能存在无穷多最优解 做进一步迭代，令 X5为进基 8 CB XB b 1 -2 1 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 1 0 X3 X1 X6 6 6 15 0 1/3 1 2/3 -1/3 0 1 2/3 0 1/3 1/3 0 0 11/3 0 1/3 1/3 1 - 18 45 -z -12 0 -3 0 -1 0 0 1 0 0 X3 X5 X6 12 18 9 1 1 1 1 0 0
15、3 2 0 1 1 0 -1 3 0 0 0 1 -z -12 0 -3 0 -1 0 0 此问题有无穷多最优解 此无穷多最优解满足条件 62 123131 xx xx 其中 x2 0,解得无穷多最优解在线段 x1+ x3=12 （两端点为 TT 606,1200 最优解为 12*z 4321 532i n f)4( xxxxM 4321 532i n f xxxxM 0,412432642:.432143143214321xxxxxxxxxxxxxxxts 0,41232642:.765432174316432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b 2 1
16、 -3 5 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 0 0 X5 X6 X7 6 12 4 1 2 4 -1 1 0 0 2 3 -1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 - 12 4 -z 0 2 1 -3 5 0 0 0 0 0 5 X5 X2 X4 10 8 4 2 2 5 0 1 0 1 1 3 -2 0 0 1 -1 1 0 1 1 0 0 1 5 8/3 - -z -20 -3 1 -8 0 0 0 -5 0 1 5 X5 X2 X4 14/3 8/3 4 4/3 0 19/3 0 1 -2/3 5/3 1/3 1 -2/3 0 0 1/3 -1/3 1
17、0 1 1 0 0 1 -z -68/3 -10/3 0 -22/3 0 0 -1/3 -14/3 368*368*31438* 00400 fzx T 6.用大 M 法及两阶段法求解以下线性规划问题 213inf)1( xxM 64213, MxMxxxM a xzM 法大 9 0,1648263233:.2121212121xxxxxxxxxxts0,1648263233:.8765432182172165214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsCB XB b -3 1 0 -M 0 -M 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 -M -M 0 0 X4
18、 X6 X7 X8 3 6 8 16 1 3 -1 1 0 0 0 0 2 -3 0 0 -1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 4 -1 0 0 0 0 0 1 3 3 4 4 -z 9M 3M-3 1 -M 0 -M 0 0 0 -3 -M 0 0 X1 X6 X7 X8 3 0 2 4 1 3 -1 1 0 0 0 0 0 -9 2 -2 0 0 1 0 0 -5 2 -2 0 0 1 0 0 -13 4 -4 0 0 0 1 - 0 1 1 -z 9 0 10-9M 2M-3 3M+3 M 0 0 0 -3 0 0 0 X1 X3 X7 X8 3 0 2 4 1 -3/2 0
19、 0 -1/2 1/2 0 0 0 -9/2 1 -1 -1/2 1/2 0 0 0 4 0 0 1 -1 1 0 0 15 0 0 2 -2 0 1 0 8/3 1 1 -z 9 0 -7/2 0 -M -3/2 M+3/2 0 0 最优解为 Tx 03* 9* z 9* f 两阶段法 第一阶段 64 xxzMa x 0,1648263233:.8765432182172165214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsCB XB b 0 0 0 -1 0 -1 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 -1 -1 0 0 X4 X6 X7 X8 3 6 8 16
20、 1 3 -1 1 0 0 0 0 2 -3 0 0 -1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 4 -1 0 0 0 0 0 1 3 3 4 4 -z 9 3 0 -1 0 -1 0 0 0 10 0 -1 0 0 X1 X6 X7 X8 3 0 2 4 1 3 -1 1 0 0 0 0 0 -9 2 -2 -1 1 0 0 0 -5 2 -2 0 0 1 0 0 -13 4 -4 0 0 0 1 - 0 1 1 -z 0 0 -9 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 X1 X3 X7 X8 3 0 2 4 1 -3/2 0 0 -1/2 1/2 0 0 0 -9/2 1 -1 -
21、1/2 1/2 0 0 0 4 0 0 1 -1 1 0 0 5 0 0 2 -2 0 1 -z 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 第二阶段 CB XB b -3 1 0 0 0 0 X1 X2 X3 X5 X7 X8 -3 0 0 0 X1 X3 X7 X8 3 0 2 4 1 -3/2 0 -1/2 0 0 0 -9/2 1 -1/2 0 0 0 4 0 1 1 0 0 5 0 2 0 1 -z 9 0 -7/2 0 -3/2 0 0 最优解 Tx 03* 9* z 9* f 321 43)2( xxxMa x z 0,1321731323:.3213213221xxxxxxxxxx
22、ts 大 M 法 6321 43 MxxxxM a x z 0,1321731323:.6543216321532421xxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b 1 3 4 0 0 -M X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 0 -M X4 X5 X6 13 17 13 3 2 0 1 0 0 0 1 3 0 1 0 2 1 1 0 0 1 13/3 - 13/2 -z 3M 1+2M 3+M 4+M 0 0 0 11 1 0 -M X1 X5 X6 13/3 17 13/3 1 2/3 0 1/3 0 0 0 1 3 0 1 0 0 -1/3 1 -2/3 0 1 - 17/3
23、 13/3 -z 13M/3-13/3 0 7/3-M/3 4+M 1/3-2M/3 0 0 1 0 4 X1 X5 X6 13/3 4 13/3 1 2/3 0 1/3 0 0 0 2 3 0 1 0 2 -1/3 1 0 0 1 13/2 2 - -z -65/3 0 11/3 0 7/3 0 -M-4 1 3 4 X1 X2 X3 3 2 5 1 0 0 -1/3 -1/3 -1 0 1 0 1 1/2 -3/2 0 0 1 -1/3 1/6 -1/2 -z -29 0 0 0 -4/3 -11/6 3/2-M Tx 523* 29*z 两阶段法 第一阶段 6xzMax 0,132173
24、1323:.6543216321532421xxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b 0 0 0 0 0 -1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 0 -1 X4 X5 X6 13 17 13 3 2 0 1 0 0 0 1 3 0 1 0 2 1 1 0 0 1 13/3 - 13/2 -z 13 2 1 1 0 0 0 0 0 -1 X1 X5 X6 13/3 17 13/3 1 2/3 0 1/3 0 0 0 1 3 0 1 0 0 -1/3 1 -2/3 0 1 - 17/3 13/3 -z 13/3 0 0 0 X1 X5 X3 13/3 4 13 1 2/3 0 1
25、/3 0 0 0 2 0 2 1 -3 2 -/31 1 -2/3 0 1 -z 0 0 0 0 0 0 -1 第二阶段 CB XB b 1 3 4 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 1 0 4 X1 X5 X3 13/3 4 13/3 1 2/3 0 1/3 0 0 2 0 2 1 0 -1/3 1 -2/3 0 13/2 2 - 12 -z -65/3 0 11/3 0 7/3 0 1 3 4 X1 X2 X3 3 2 5 1 0 0 -1/3 -1/3 0 1 0 1 1/2 0 0 1 -1/3 1/6 -z -29 0 0 0 -4/3 -11/6 Tx 523* 29*z 32
26、12)3( xxxM a x z 0,4322482:.321321321321xxxxxxxxxxxxts 大 M 法 73212 MxxxxM a x z 0,4322482:.76543217632153214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b 2 -1 1 0 0 0 -M X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 0 -M X4 X5 X7 8 2 4 1 1 -2 1 0 0 0 4 -1 1 0 1 0 0 2 3 -1 0 0 -1 1 8 - 4/3 -z 4M 2+2M 1+3M 1-M 0 0 -M 0 0 0 -1 X4 X5 X2
27、20/3 10/3 4/3 1/3 0 -5/3 1 0 1/3 -1/3 14/3 0 2/3 0 1 -1/3 1/3 2/3 1 -1/3 0 0 -1/3 1/3 20 10/14 2 -z 4/3 8/3 0 2/3 0 0 -1/3 -M+1/3 0 2 -1 X4 X1 X2 45/7 5/7 6/7 0 0 -12/7 1 -1/14 5/14 -5/14 1 0 1/7 0 3/14 -1/14 1/14 0 1 -3/7 0 -1/7 -2/7 2/7 - 5 - -z -4/7 0 0 2/7 0 -4/7 0 M+1/7 0 1 -1 X4 X3 X2 105/7 5
28、3 12 0 0 1 5/2 -1/2 1/2 7 0 1 0 3/2 -1/2 1/2 3 1 0 0 1/2 -1/2 1/2 -z -2 -2 0 0 0 -1 0 -M Tx 530* 2*z 13 两阶段法 第一阶段 7xzMax 0,4322482:.76543217632153214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b 0 0 0 0 0 0 -1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 0 -1 X4 X5 X7 8 2 4 1 1 -2 1 0 0 0 4 -1 1 0 1 0 0 2 3 -1 0 0 -1 1 8 - 4/3 -z 4
29、2 3 -1 0 0 -1 0 0 0 0 X4 X5 X2 20/3 10/3 4/3 1/3 0 -5/3 1 0 1/3 -1/3 14/3 0 2/3 0 1 -1/3 1/3 2/3 1 -1/3 0 0 -1/3 1/3 -z 0 0 0 0 0 0 0 -1 第二阶段 CB XB b 2 -1 1 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 0 -1 X4 X5 X2 20/3 10/3 4/3 1/3 0 -5/3 1 0 1/3 14/3 0 2/3 0 1 -1/3 2/3 1 -1/3 0 0 -1/3 20 10/14 2 -z 4/3 8/3 0 2/3 0
30、0 -1/3 0 2 -1 X4 X1 X2 45/7 5/7 6/7 0 0 -12/7 1 -1/14 5/14 1 0 1/7 0 3/14 -1/14 0 1 -3/7 0 -1/7 -2/7 - 5 - -z -4/7 2 0 2/7 0 -4/7 -1/7 0 1 -1 X4 X3 X2 105/7 5 3 12 0 0 1 5/2 -1/2 7 0 1 0 3/2 -1/2 3 1 0 0 1/2 -1/2 -z -2 -2 0 0 0 -1 0 321 3in f)4( xxxM 0,45223:.32132121321xxxxxxxxxxxts 大 M 法 14 75321
31、3 MxMxxxxM a x z 0,45223:.876543218321762154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts CB XB b -1 -3 1 0 M 0 -M 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 -M -M 0 X5 X7 X8 3 2 4 1 1 1 -1 1 0 0 0 -1 2 0 0 0 -1 1 0 -1 5 1 0 0 0 0 1 3 1 4/5 -z 5M -1 3M-3 1+M M 0 -M 0 0 -M -M -3 X5 X7 X2 11/5 2/5 4/5 6/5 0 4/5 -1 1 0 0 -1/5 -3/5 0 2/5
32、0 0 -1 1 -2/5 -11/5 1 1/5 0 0 0 0 1/5 11/6 - - -z 512513 M 5853 M 0 5852 M -M 0 -M 0 5353 M CB XB b -1 -3 1 0 M 0 -M 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 -1 -M -3 X1 X7 X8 11/6 3/2 7/6 1 0 2/3 5/6 5/6 0 0 1/6 0 0 0 1/2 1/2 -1 1 1/2 0 1 1/3 1/6 1/6 0 0 1/6 11/4- 7/2 -z 31623 M 0 0 8/3 234 M 234 M -M 0 232 M +1
33、-M -3 X3 X7 X2 11/4 2/3 4/5 3/2 0 1 5/4 5/4 0 0 1/4 0 0 0 1/2 1/2 -1 1 1/2 -1/2 1 0 1/4 -1/4 0 0 1/4 -z 223 M -4 0 0 0 22 M -M 0 21 M 原问题无最优解 两阶段法 第一阶段 75 xxzMa x 0,45223:.876543218321762154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts 15 CB XB b -1 -3 1 0 M 0 -M 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 -1 -1 0 X5 X7 X8 3 2 4 1 1 1
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