1、考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 1一. 函数的概念 1用变上、下限积分表示的函数 （1）()dttfyx=0，其中()tf连续，则()xfdxdy= （2）()()()dttfyxx=21，其中( )x1，()x2可导，( )tf连续， 则()() ()()xxfxxfdxdy1122 = 2两个无穷小的比较 设() 0lim =xf，() 0lim =xg，且()()lxgxf=lim （1）0=l，称()xf是比( )xg高阶的无穷小，记以() ()xgxf 0=，称()xg是比()xf低阶的无穷小。 （2）0l，称()xf与()xg是同阶无穷小。
2、（3）1=l，称()xf与()xg是等价无穷小，记以() ()xgxf 3常见的等价无穷小 当0x时 xx sin，xx tan，xx arcsin，xx arctan 221cos1 xx，xex1，()xx 1ln +，() xx 11+ 二求极限的方法 1利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2两个准则 准则1单调有界数列极限一定存在 （1）若nnxx +1（n为正整数）又mxn（n为正整数），则Axnn=lim存在，且mA （2）若nnxx +1（n为正整数）又Mxn（n为正整数），则Axnn=lim存在，且MA 准则2（夹逼定理）设() () ()xhxfxg 若() Axg =lim
3、，() Axh =lim，则() Axf =lim 3两个重要公式 公式11sinlim0=xxx公式2ennn=+11lim；euuu=+11lim；()ev vv=+101lim 4用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二） 当0x时，()nnxxnxxxe 0!212+= ()()()1212530!121!5!3sin+=nnnxnxxxxx ()()()nnnxnxxxx22420!21!4!21cos += () () ()nnnxnxxxxx 01321ln132+=+ () ()1212153012153arctan+=nnnxnx
4、xxxx ()( ) () ( ) ( )nnxxnnxxx 0!11!21112+=+6洛必达法则 法则1（00型）设（1）() 0lim =xf，( ) 0lim =xg （2）x变化过程中，()xf ，()xg皆存在 （3）( )()Axgxf=lim（或） 则( )()Axgxf=lim（或） （注：如果( )()xgxflim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出( )()xgxflim不存在且不是无穷大量情形） 法则2（型）设（1）() =xflim，( ) =xglim （2）x变化过程中，()xf ，()xg皆存在 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年
5、10月 2（3）()()Axgxf=lim（或） 则()()Axgxf=lim（或） 7利用导数定义求极限 基本公式：()()()0000lim xfxxfxxfx=+如果存在 8利用定积分定义求极限 基本公式 ()=1011lim dxxfnkfnnkn如果存在 三函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x是函数()xfy =的间断点。如果()xf在间断点0x处的左、右极限都存在，则称0x是()xf的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间
6、断点。 四闭区间上连续函数的性质 在闭区间ba,上连续的函数()xf，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。 定理1（有界定理）如果函数()xf在闭区间 ba,上连续，则()xf必在ba,上有界。 定理2（最大值和最小值定理）如果函数()xf在闭区间ba,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。 其中最大值M和最小值m的定义如下： 定义 设()Mxf =0是区间ba,上某点0x处的函数值，如果对于区间 ba,上的任一点x，总有( ) Mxf ，则称M为函数( )xf在 ba,上的最大值。同样可以定义最小值m。 定理3（介值定理）如果函数()xf在闭区间 ba,上连续，且其最大值和
7、最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在ba,上至少存在一个，使得 () cf = 推论：如果函数( )xf在闭区间ba,上连续，且( )af与( )bf异号，则在( )ba,内至少存在一个点，使得 () 0=f 这个推论也称为零点定理 五导数与微分计算 1导数与微分表 () 0=c ( ) 0=cd ( )1= xx（实常数）( ) dxxxd1=（实常数） () xx cossin =xdxxd cossin = () xx sincos =xdxxd sincos = () xx2sectan =xdxxd2sectan = () xx2csccot =xdxxd2csc
8、cot = () xxx tansecsec =xdxxxd tansecsec = () xxx cotcsccsc =xdxxxd cotcsccsc = ()axxaln1log =( )1,0 aa axdxxdalnlog = ( )1,0 aa ()xx1ln =dxxxd1ln = ( ) aaaxxln=( )1,0 aa adxadaxxln= ( )1,0 aa 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 3()xxee =dxedexx= ()211arcsinxx=dxxxd211arcsin= ()211arccosxx=dxxxd211a
9、rccos= ()211arctanxx+=dxxxd211arctan+= ()211cotxxarc+=dxxxdarc211cot+= ( )22221lnaxaxx+=+ ( ) dxaxaxxd22221ln+=+( )22221lnaxaxx=+ ( ) dxaxaxxd22221ln=+ 2四则运算法则 () ()() ()xgxfxgxf = () ()()() () ()xgxfxgxfxgxf += ()()()() () ()()xgxgxfxgxfxgxf2=() 0xg 3复合函数运算法则 设()ufy =，()xu =，如果()x在x处可导，( )uf在对应点u处可
10、导，则复合函数()xfy =在x处可导，且有 ()()xxfdxdududydxdy = 对应地() ()()dxxxfduufdy = 由于公式()duufdy =不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4由参数方程确定函数的运算法则 设()tx =，()ty =确定函数()xyy =，其中( )t，( )t存在，且( ) 0 t，则 ( )()ttdxdy= ( )( )0 t 二阶导数() () () ()()3221tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxyd= 5反函数求导法则 设( )xfy =的反函数()ygx =，两者皆可导，且( ) 0 xf
11、则 ()() ()ygfxfyg=11( )( )0 xf 二阶导数()()()dxdydxxfddyygdyg11= ( )()( ) ()33ygfygfxfxf= () 0 xf 6隐函数运算法则 设( )xyy =是由方程()0, =yxF所确定，求y的方法如下： 把( ) 0, =yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式（允许出现y变量） 7对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。 对数求导法主要用于： 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数()()xgxfy =常用的一种方法考研数
12、学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 4() ()xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8可微与可导的关系 ()xf在0x处可微()xf在0x处可导。 9求n阶导数（2n，正整数） 先求出, yy 总结出规律性，然后写出( )ny，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）xey = () xney = （2）()1,0 = aaayx()()nxnaay ln= （3）xy sin= ()+=2sinnxyn（4）xy cos= ()+=2cosnxyn(5) xy ln= ( )()( )nnnxny= !111两个函数乘
13、积的n阶导数有莱布尼兹公式 ()()() ()()()()=nkknkknnxvxuCxvxu0其中 ()!knknCkn=， ()() ( )xuxu =0， ()() ()xvxv =0假设()xu和()xv都是n阶可导。 微分中值定理 一罗尔定理 设函数()xf满足 （1）在闭区间ba,上连续； （2）在开区间()ba,内可导； （3）() ()bfaf = 则存在()ba,，使得() 0=f 二拉格朗日中值定理 设函数()xf满足 （1）在闭区间 ba,上连续； （2）在开区间( )ba,内可导； 则存在( )ba,，使得 ( ) ( )()fabafbf=或写成( ) ( )()()
14、abfafbf = ( )ba ，则称()0xf为函数( )xf的一个极小值，称0x为函数()xf的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2必要条件（可导情形） 设函数( )xf在0x处可导，且0x为( )xf的一个极值点，则( ) 00= xf。 我们称x满足( ) 00= xf的0x为()xf的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3第一充分条件 设( )xf在0x处连续，在 xf，而在( )+00, xx内的任一点x处，有( ) 0 xf，则( )0xf为极小值，0x为极小值点；
15、 3 如果在( )00, xx 内与()+00, xx内的任一点x处，( )xf 的符号相同，那么()0xf不是极值，0x不是极值点。 4第二充分条件 设函数( )xf在0x处有二阶导数，且( ) 00= xf，( ) 00 xf，则 当( ) 00 xf时，()0xf为极小值，0x为极小值点。 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 6二函数的最大值和最小值 1求函数()xf在ba,上的最大值和最小值的方法 首先，求出()xf在()ba,内所有驻点和不可导点kxx ,1，其次计算() ( )()()bfafxfxfk,1。 最后，比较() ()( )()bfa
16、fxfxfk,1， 其中最大者就是()xf在ba,上的最大值M；其中最小者就是()xf在ba,上的最小值m。 2最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三凹凸性与拐点 1凹凸的定义 设()xf在区间I上连续，若对任意不同的两点21, xx，恒有 () () () ()+ +21212121212212xfxfxxfxfxfxxf则称()xf在I上是凸（凹）的。 在几何上，曲线()xfy =上任意两点的割线在曲线下（上）面，则()xfy =是凸（凹）的。 如果曲线()xfy =有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则(
17、)xfy =是凸（凹）的。 2拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3凹凸性的判别和拐点的求法 设函数()xf在()ba,内具有二阶导数()xf ， 如果在()ba,内的每一点x，恒有() 0 xf，则曲线()xfy =在()ba,内是凹的； 如果在()ba,内的每一点x，恒有() 0 aa Cedxexx+=4+= Cxxdx sincos 5+= Cxxdx cossin 6Cxdxxxdx +=tancos1sec227Cxdxxxdx +=cotsin1csc228Cxxdxx +=secsectan 9Cxxdxx +=csccsccot 10Cxxdx +=cosln
18、tan 11Cxxdx +=sinlncot 12Cxxxdx +=tanseclnsec 13Cxxxdx +=cotcsclncsc 14+=Caxxadxarcsin22()0a 15Caxaxadx+=+arctan122()0a 16Cxaxaaxadx+=ln2122()0a 17Caxxaxdx+=2222ln ( )0a 二换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法（凑微分法） 设() () CuFduuf +=，又()x可导，则 ()() ()()()()duufxuxdxfdxxxf=令() ()CxFCuF +=+= 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟
19、练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式： （1）() ()()+=+ baxdbaxfadxbaxf1( )0a （2）( ) ()( )+=+baxdbaxfnadxxbaxfnnnn11( )0,0 na （3）() ()()xdxfxdxxf lnlnln= （4）=xdxfxdxxf1112（5）( ) ()()= xdxfxdxxf 2 （6）( ) ()()=xxxxadafadxaafln1( )1,0 aa ( )()()=xxxxedefdxeef （7）( )()( )= xdxfxdxxf sinsincossin （8）( )()( )= xdxfxdxxf coscos
20、sincos （9）( )()( )= xdxfxdxxf tantansectan2（10）( )()( )= xdxfxdxxf cotcotcsccot2（11）( )()( )= xdxfxdxxxf secsectansecsec （12）( ( )= xdxfxdxxxf csccsccotcsccsc （13）( )()()=xdxfdxxxfarcsinarcsin1arcsin2（14）( )()()=xdxfdxxxfarccosarccos1arccos2（15）( )()()=+xdxfdxxxfarctanarctan1arctan2（16）( )()()=+xarc
21、dxarcfdxxxarcfcotcot1cot2考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 8（17）=+xdxfdxxxf1arctan1arctan11arctan2（18）( ) ( )( )( )+=+22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf()0a （19）( ) ()()+=+22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf()0a （20）()()() Cxfdxxfxf+=ln () 0xf 2第二换元积分法 设()tx =可导，且() 0 t，若()() () CtGdtttf +=， 则()()()() () (
22、) CxGCtGdtttftxdxxf +=+=1令其中()xt1=为()tx =的反函数。 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是x与nbax+或x与ndcxbax+或由xe构成的代数式的根式，例如baex+等。 只要令根式() txgn=，解出()tx =已经不再有根式，那么就作这种变量替换( )tx =即可。 第二类：被积函数含有()0 2+ ACBxAx，如果仍令tCBxAx =+2解出()tx =仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0A时先化为()220lxxA ，0= qp，特征方程有两个不同的实根
23、1，2 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 15则方程的通解为xxeCeCy2121+= （2）当042= qp，特征方程有二重根21 = 则方程的通解为()xexCCy121+= （3）当042k则()kkyxf ,是极值 进一步 若( ) 0, kkxxyxf 则()kkyxf ,为极小值 若( ) 0, kkxxyxf 则()kkyxf ,为极大值 二求多元( )2n函数条件极值的拉格朗日乘子法 求( )nxxfu ,1=的极值 约束条件( )()=0,0,111nmnxxxx()nm 作()()()nmiiinmnxxxxfxxFF ,11111=+
24、= 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 20()()=0,0,0011111nmnxxxxFxxFFFmn求出() ()( )()lkxxknk,2,1,1=是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种方法的关键是解方程组的有关技巧。 多元函数积分学 二在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型I：设有界闭区域( ) () ()xyxbxayxD21, = 其中()x1，()x2在ba,上连续，()yxf ,在D上连续。 则() ()=DDdxdyyxfdyxf , ()()()=baxxdyyxfdx21,模型II：设有
25、界闭区域() () ()yxydycyxD21, = 其中()y1，()y2在dc,上连续，()yxf ,在D上连续。 则() () =DDdxdyyxfdyxf , ()()( )=dcyydxyxfdy21,关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D，如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系
26、中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。 三在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。 模型：设有界闭区域( ) () () 21, =D 其中( )1，()2在,上连续，( ) ( ) sin,cos, fyxf =在D上连续，则 ( )( ) =DDddfdyxf sin,cos, ()()( )=21sin,cos dfd 模型I：设有界闭区
27、域( ) () ( ) 21,20, =D 其中( ) ( )21,在2,0上连续，考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005年10月 21()( ) sin,cos, fyxf =在D上连续，则 () ( )=DDddfdyxf sin,cos, ()()()=20sin,cos21dfd 模型II：设有界闭区域() () = 0,D 其中()在,上连续，()( ) sin,cos, fyxf =在D上连续，则 () ( )=DDddfdyxf sin,cos, ()()=0sin,cos dfd 模型III：设有界闭区域() () = 0,20,D 其中()在2,0上连
28、续，()( ) sin,cos, fyxf =在D上连续，则 () ( ) ddfdyxfDDsin,cos, = ()()=200sin,cos dfd 四二重积分在几何上的应用 1空间物体的体积 ( )() dyxfyxfVD= ,12其中D为闭曲面S在xy平面上投影区域( )yxfz ,2=为上半曲面，()yxfz ,1=为下半曲面。 2空间曲面的面积 +=DdyzxzA 221 其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程( )yxzz ,= 三重积分 二三重积分的计算方法 1直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设是空间的有界闭区域， ( ) ( )()( ) Dyxyxzzyxzzyx = ,21其中D是xy平面上的有界闭区域，( ) ( )yxzyxz ,21在D上连续，函数()zyxf ,在上连续，则 () ()()()=yxzyxzDdzzyxfdxdydvzyxf,21, （2）设( ) ()( ) zDyxzzyx = , 其中( )zD为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则 () ()()= zDdxdyzyxfdzdvzyxf ,2柱坐标系中三重积分的计算 ( )( )= dzddzfdxdydzzyxf ,sin,cos, 相当于把( )yx,化为极坐标(),而z保持不变。
