1、第二章 随机过程,引言,为什么学习随机信号？ 噪声是一种随机信号； 通信中传递的信息，对接收者来说是事先不知道的，也就是随机的； 有的时候信道的传输特性也是随机变化的（例如短波、微波传输的衰减受天气的影响很大）。,复习：确定信号,一、常用付立叶变换及性质（最好记住） 二、能量谱密度和功率谱密度（难点，也是考研重点） 三、相关函数与自相关函数,一、常用付立叶变换及性质,1、常用付立叶变换（最好记住）,常用付立叶变换(续),常用付立叶变换(续),周期函数的付立叶变换(重要),周期冲激信号的付立叶变换,这一对变换我们将在第6章用到。,周期性矩形脉冲信号,2、付立叶变换的几个重要性质,二、能量谱密度和
2、功率谱密度,电压v(t)或电流i(t)在电阻R上产生的瞬时功率为其归一化瞬时功率为 f(t)为电压或者电流信号。,f(t)信号在(-T/2,T/2)间隔内在1电阻上消耗的能量f(t)信号在(-T/2,T/2)间隔内在1电阻上消耗的平均功率能量信号功率信号,二、能量谱密度和功率谱密度,能量信号f(t)的能量谱密度E()能量信号的帕什瓦尔定理即,二、能量谱密度和功率谱密度,功率信号f(t)的功率谱密度P()功率信号f(t)的功率FT()为f(t)的截短函数fT(t)的付氏变换,二、能量谱密度和功率谱密度,三、相关函数与自相关函数,能量信号的互相关函数功率信号的互相关函数,能量信号的自相关函数和其能
3、量谱密度构成一对傅立叶变换周期性功率信号的自相关函数和其功率谱密度构成一对傅立叶变换,三、相关函数与自相关函数,引言,为什么学习随机信号？ 噪声是一种随机信号； 通信中传递的信息，对接收者来说是事先不知道的，也就是随机的； 有的时候信道的传输特性也是随机变化的（例如短波、微波传输的衰减受天气的影响很大）。,本章内容结构,2.1 随机过程的基本概念和统计特性 2.2 平稳随机过程 2.3 高斯随机过程 2.4 随机过程通过线性系统 2.5 窄带随机过程 2.6 正弦波加窄带高斯噪声,概率论的基本概念复习,1、随机变量的概念 （1）样本空间的概念：在随机实验中，所有可能的结果的集合（例如抛1次硬币
4、，其样本空间为正面,反面） （2）随机变量的概念：对于一个样本空间，若每一个元素有一个随机的单值与之对应，则称之为随机变量（例如，抛硬币如果是正面我们用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是这个实验的随机变量，通常记为）,2、随机变量的统计特性（即概率分布）,（1）离散型随机变量 常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为（2）连续型随机变量 只能用分布函数和概率密度函数来描述,+1 -1 0.5 0.5,3、随机变量的数字特征,（1）数学期望E(即平均值) 对于离散随机变量：对于连续随机变量： （2）方差D 对于离散随机变量：对于连续随机变量：,3、随机变量的数字特征(续),（3）相关函数 无论
5、是离散的还是连续的随机变量，两个随机变量的相关函数统一定义为,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,2.1.1 随机过程 测度论中给出了随机过程的严格的数学定义，可是非常抽象、不易理解 因此我们从一个随机过程的实例，及其样本空间，来描述随机过程,通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程,我们都知道，抛1次硬币作为1次实验，得到的结果可能是正或反，所以其样本空间为正，反 设想我们连续抛3次硬币作为1次实验，那么，其可能结果为： (正,正,正) (正,正,反) (正,反,正) (反,正,正) (反,反,反) (反,反,正) (反,成,反) (正,反,反) 所以这个实验样本空间为上述8个情况的集合,通过
6、抛硬币的例子来理解什么是随机过程,我们知道“抛1次硬币”的结果对应的值称作“随机变量” 而“连续抛3次硬币”，每次实验都会对应3个随机变量（第一次、第二次、第三次），因此不能再称作随机变量了 我们称这种实验叫做“随机过程”，记为(t),通过热噪声的例子来理解随机过程,这是在一个电阻上测量到的热噪声，它也属于一种“随机过程”。图中画出了其3个样本，这种随机过程的样本空间有无穷多个。 注意：每一个样本都是一个关于时间的函数,随机变量和随机过程的区别与关系,区别： 随机变量与随机过程的样本空间是不同的 这种区别体现在样本空间的数量上和性质上 关系： 随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量,2.1
7、.2 随机过程的统计特性,由于随机过程由一系列随机变量组成 所以无法用某一随机变量的统计特征来描述整个随机的统计特性 于是人们定义了 一维概率分布函数和概率密度函数 二维概率分布函数和概率密度函数 。 N维概率分布函数和概率密度函数,一维概率分布函数和密度函数,因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量,二维概率分布函数和密度函数,我国的降雨量分布图 就是典型的二维密度函数的例子,2.1.3 随机过程的数字特征,1、数学期望（均值函数） 由于随机过程是由一系列随机变量组成的,2、随机过程的方差,同理，随机过程的方差也是一个关于时间的函数，可由下式计算,3、随机过程的自相关函数,定义为：,例1(续)
8、,例1(续),2.2 平稳随机过程,2.2.1 平稳随机过程的分类和定义 严(狭义)平稳过程 任意n维分布与时间起点无关,而只与这n点的时间间隔有关 宽(广义)平稳过程 不一定是严平稳过程,但具有严平稳过程的某些特征 通信中遇到的绝大部分随机过程属于这一类,严(狭义)平稳随机过程,随机过程任意n维联合密度与时间起点无关,只与时间间隔有关 1 维分布与时间起点无关,则,严(狭义)平稳随机过程(续),随机过程任意n维联合密度与时间起点无关 2维联合分布与时间起点无关,则,由严(狭义)平稳引出宽(广义)平稳,如果一个随机过程满足下列条件则称之为“宽（或广义）平稳过程” （1）均值函数为常数 （2）方
9、差函数均为常数 （3）自相关函数只与两个时间点之间的时间差有关，而与时间起点无关,以后，“平稳过程”均指“宽平稳过程”,例2若X(t)和Y(t)为平稳过程，证明Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程,设X(t)、Y(t)相互独立,常数,常数,例3.2（续）,常数,常数,即，符合平稳第2条件,例3.2（续）,RX(),RY(),2.2.2 平稳过程的各态历经性（遍历性）,简单地说，一个随机过程如果做1次实验，在时间上的统计特征等于做无数次试验的统计特征，称这种过程具有遍历性 用数学表示即,具有遍历性的过程一定是平稳过程，但反之不一定,2.2.3 平稳随机过程的自相关函数,2.2.4 平稳过程的
10、功率谱密度,同样符合维纳-辛钦定理，即,平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对付立叶变换,2.3 高斯过程,2.3.1高斯过程的定义 若一随机过程的任意n维分布都是高斯分布，称为高斯过程（这个条件过于严格，很少使用）,2.3 高斯过程,2.3.2高斯过程的性质 对高斯过程而言，严平稳等价于宽平稳 对高斯过程而言，不相关等价于独立 高斯过程通过线性系统仍为高斯过程,2.3 高斯过程,与高斯随机变量有关的重要函数：误差函数,2.3 高斯过程,2.3.3高斯白噪声 通信中经常遇到这样一类噪声，具有以下性质： 1、在时域上，任一时刻，该随机过程对应的随机变量是一个高斯随机变量 2、在频域上，其功率谱是
11、一个常数 我们称这种噪声为高斯白噪声,2.4 平稳过程通过线性系统 （重要章节）,平稳过程通过线性系统（如R/L/C/加法器/延时器等组成的电路）时,线性系统,输出随机过程与输入随机过程的关系?,本章内容结构,2.1 随机过程的基本概念和统计特性 2.2 平稳随机过程 2.3 高斯随机过程 2.4 随机过程通过线性系统 2.5 窄带随机过程 2.6 正弦波加窄带高斯噪声,关系1：,文字描述即：输出随机过程的均值函数等于输入随机过程的均值函数乘以该线性系统的转移函数H()在=0时的值,代入即证毕,关系2和关系3 （证明略）,关系2：若输入过程平稳，则输出过程也平稳,关系3（最重要，考试常用）：,本章重点小结,随机过程和平稳过程的基本概念和性质 自相关函数的5条性质和物理意义 高斯白噪声的概念和特点 平稳过程通过线性系统的性质,
