1、- 1 -第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例 1】 已知 、 是方程 的两
2、个实数根，则代数式 的值为 012x )2(2 思路点拨 所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例 2】如果 、 都是质数，且 ， ，那么 的值为( ) ab0132ma0132mbbaA B 或 2 C D 或 22131525思路点拨 可将两个等式相减，得到 、 的关系，由于两个等式结构相同，可视 、 为ab ab方程 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件0mx注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 、 的对称式，这类问题可通过变形1x2用 + 、 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：1x21x(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(
3、3)构造对称式【例 3】 已知关于 的方程：x04)2(mxx(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根(2)若这个方程的两个实根 、 满足 ，求 m 的值及相应的 、 12211x2思路点拨 对于(2)，先判定 、 的符号特征，并从分类讨论入手x- 2 -【例 4】 设 、 是方程 的两个实数根，当 m 为何值时，1x2 02342mx有最小值 ?并求出这个最小值 21x思路点拨 利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0 这
4、一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性【例 5】 已知：四边形 ABCD 中，AB CD ，且 AB、CD 的长是关于 的方程x的两个根047)21(2mx(1)当 m2 和 m2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形 ?并说明理由(2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P，Q，PQ1，且 ABBC)的长是关于 的x方程的两个根(1)求 rn 的值；（2）若 E 是 AB 上的一点，CFDE 于 F，求 BE 为何值时，CEF 的面积是CED 的面积的 ，请说明理由 3116设 m 是不小于 的实数，使得关于 的方程工 有两个不1x 03)2(2mxx相等的实数根 、 x2(1) 若 ，求 m 的值621(2)求 的最大值 21xm- 6 -17如图，已知在ABC 中，ACB=90 ，过 C 作 CDAB 于 D，且ADm，BD=n，AC 2：BC 2 2：1；又关于 x 的方程 两实数012)(241mxnx根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值18设 、 、 为三个不同的实数，使得方程和 和 有一个相同abc 012ax02cbx的实数根，并且使方程 和 也有一个相同的实数根，试求02ax2bcx的值 参考答案- 7 - 8 - 9 -
