1、1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lny与两直线 e1及 0所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线 yt及 21xyz都平行且过原点的平面方程为_. 2zt(4)设 L为取正向的圆周 29,xy则曲线积分2(2)(4)xyddA= _.(5)已知三维向量空间的基底为123(,0)(1,)(0,1)则向量 (2,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数 a与 ,b使等式2001lim1sinxxtda成立.
2、三、(本题满分 7 分)(1)设 f、 g为连续可微函数 ,(,)(),ufxyvgxy求,.uvx(2)设矩阵 A和 B满足关系式 2,=AB其中301,4求矩阵 .四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处(A) ()fx的导数存在 ,且 ()0fa(B) ()fx取得极大值(C) ()f取得极小值 (D) ()f的导数不存在(2)设 ()fx为已知连续函数 0,(),s
3、tIfxd其中0,ts则 I的值(A)依赖于 和 t (B)依赖于 s、t和 x(C)依赖于 、 x,不依赖于 s(D)依赖于 ,不依赖于 t(3)设常数 0,k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 的行列式 |0,aA而 *是的伴随矩阵，则 *|等于(A) a (B) 1a(C) 1n (D) n 六、 （本题满分 10 分）求幂级数 112nnxA的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 3()0 fx绕 轴旋转一周而成的曲面,其
4、法向量与 y轴正向的夹角恒大于 .2 八、 （本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 f的值都在开区间 ()内,且 ()fx1,证明在 (,)内有且仅有一个 ,x使得 ).fx九、 （本题满分 8 分）问 ,ab为何值时,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件 A发生的概率为 ,p现进行 n次独立试验,则 A至少发生一次的概率为_; 而事件 A至多发生一次的概率为_.(2)
5、有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X的概率密度函数为21()e,xf则 的数学期望为_, X的方差为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 ,XY相互独立,其概率密度函数分别为()fx10 x其, ()Yfy e0y,求 2Z的概率密度函数.1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、(本题共
6、 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xffx且 ()0,求 ()x及其定义域.(3)设 为曲面 221yz的外侧,计算曲面积分333.IxdyzxdA二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21)lim(),txxftt则 ()ft= _.(2)设 (连续且30,d则 7f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1上定义为 ()fx 2x 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 1x处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中23,均为 4 维列
7、向量,且已知行列式 1A则行列式 B= _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 ()fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 x低阶的无穷小 (D)比 x高阶的无穷小(2)设 ()yf是方程 240y的一个解且00(),fx则函数 ()fx在点 处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzRxyz则(A
8、) 124dv (B)12y(C) 12zvz(D)124xydxy(4)设幂级数 1()nna在 1x处收敛,则此级数在 2x处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) n维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使120skk(B) 1,s 中任意两个向量均线性无关(C) 12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (,xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数,求22.xy五、(本题满分 8 分)设函数 (yx满足微分方程 32e
9、,xy其图形在点(0,1)处的切线与曲线 21x在该点处的切线重合,求函数.yx六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,1)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数 ,r为 A质点与 之间的距离),质点 沿直线 yx自(2)B运动到 (,)O求在此运动过程中质点 A对质点 的引力所作的功.七、 （本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求5,.八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、 （本题满分 9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有 ()0,fx证明:在 ,a
10、b内存在唯一的 使曲线 yfx与两直线()yfx所围平面图形面积 1S是曲线 ()f与两直线,所围平面图形面积 2的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19,27则事件 在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,)内任取两个数,则事件”两数之和小于 65”的概率为_.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布 ,已知21()e,(.5)0938uxd则 落在区间 9.5,0内的概率为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变
11、量 X的概率密度函数为 21(),)Xfx求随机变量 31Y的概率密度函数 .Yfy1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 (3)2,f则 0()(lim2hff= _.(2)设 x是连续函数,且 10),fxftd则()f=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 21,yx则曲线积分2()Lxyds=_.(4)向量场 ivu在点 (,0)P处的散度 divu=_.(5)设矩阵3114,00AI则矩阵1(2)I=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的
12、四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面210,xy则点的坐标是(A) (,) (B) (1,2) (C) (D)(1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B)()(C) 12123)cycy(D)12123()cycy (4)设函数 ,01,fx而1()sin,Sxb其中02()i,1
13、2,3nfxdn则 1()2S等于(A) (B) 4 (C) 14 (D) (5)设 A是 n阶矩阵,且 的行列式 0,A则 中(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 (2)()zfxygx其中函数 (ft二阶可导,()guv具有连续二阶偏导数,求2.zy(2)设曲线积分 2()cxydxy与路径无关,其中 ()x具有连续的导数,且 (0),计算(1,)20xydxy的值.(3)计算三重积分 (),zdv其中 是由曲面2zxy与 21
14、zxy所围成的区域.四、(本题满分 6 分)将函数 arctn1fxx展为 的幂级数.五、(本题满分 7 分)设 0)si(),xfxtfd其中 f为连续函数,求 ().fx六、 （本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos2exx在区间 (0,)内有且仅有两个不同实根.七、 （本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组 13x24136x有解,并求出解的一般形式.八、 （本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值,证明(1) 1为 的特征值.(2) A为 的伴随矩阵 *的特征值.九、 （本题满分 9 分）设半径为 R的球面 的球心在定球面22(0)xyza上,问当 R为何值时,
15、球面 在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件 A的概率 ()0.5,P随机事件 B的概率()0.6PB及条件概率 (|)0.8,PBA则和事件 AB的概率A=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量 在 (1,6)上服从均匀分布,则方程210x有实根的概率是_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X与 Y独立,且 服从均值为 1、标准差(均方差)为 2的正态分布,而 服从标准正态分布.试求随机变量3Z
16、的概率密度函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点 (1,2)M且与直线 4y垂直的平面方程是_.1zt(2)设 a为非零常数,则 lim()xxa=_.(3)设函数 ()f 10 x,则 ()fx=_.(4)积分 220eyxd的值等于_.(5)已知向量组1234(,34),(,5),(,6),(,57),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设
17、 ()fx是连续函数,且 e()(),xFftd则 ()Fx等于(A) efx (B)()xff(C) e()x (D)()xff(2)已知函数 ()x具有任意阶导数,且 2(),fxf则当 n为大于 2 的正整数时 f的 n阶导数 ()n是(A) 1!()nfx (B)1nf(C) 2()x (D)!nf(3)设 a为常数,则级数 21sin()a(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关 (4)已知 ()fx在 0的某个邻域内连续,且0(),lim21cosxf则在点 0x处 ()f(A)不可导 (B)可导,且()f(C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知
18、1、 2是非齐次线性方程组 AXb的两个不同的解1,、 2是对应其次线性方程组 0的基础解析 1,k、 2为任意常数,则方程组 AXb的通解(一般解) 必是(A) 121212k(B)()(C) 12121k(D)()三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 120ln().xd(2)设 (,sin),zfy其中 (,)fuv具有连续的二阶偏导数 ,求2.xy(3)求微分方程 24exy的通解( 一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数 0(21nnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分 8 分)求曲面积分 2SIyzdxy其中 S是球面 224x外侧在 0的部分.
19、六、 （本题满分 7 分）设不恒为常数的函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续,在开区间(,)ab内可导,且 ().fab证明在 ()内至少存在一点 ,使得0.f七、 （本题满分 6 分）设四阶矩阵 1021340,BC且矩阵 A满足关系式 1()EB其中 E为四阶单位矩阵 ,C表示 的逆矩阵 ,C表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .A八、 （本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型 2213132448fxxx成标准型.九、 （本题满分 8 分）质点 P沿着以 AB为直径的半圆周,从点 (1,2)运动到点(3,4B的过程中受变力 F作用(见图). F的大小等于点 P与原点 O之间的距
20、离,其方向垂直于线段 且与 y轴正向的夹角小于 .2求变力F对质点 P所作的功.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量 X的概率密度函数 1()e,xf则 X的概率分布函数 F=_.(2)设随机事件 A、 B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若 B表示 的对立事件,那么积事件 A的概率()P=_.(3)已知离散型随机变量 X服从参数为 2 的泊松 ()Poisn分布,即2e,01,!kPX则随机变量 32ZX的数学期望 ()EZ=_.十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量 (,)XY在区域 :01,Dxy内服从
21、均匀分布,求关于 的边缘概率密度函数及随机变量 2ZX的方差().DZ1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设 21cosxty,则 dyx=_.(2)由方程 22xzyz所确定的函数(,)zy在点 (1,0)处的全微分 d=_.(3)已知两条直线的方程是1 231:;:.01xzxyzl l则过 1l且平行于 2l的平面方程是_.(4)已知当 x时123,()ax与 cosx是等价无穷小 ,则常数 a=_.(5)设 4 阶方阵5201,A则 A的逆阵1=_.二、选择题(本题共 5 小题
22、,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线21exy(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数 ()fx满足关系式 20()()ln2,tfxfd则()fx等于(A) eln2 (B) 2elx (C) x(D) n (3)已知级数 121(),5,nna则级数 1na等于(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设 D是平面 xoy上以 (1,)、 ,和 (,)为顶点的三角形区域 1,是 在第一象限的部分,则(csin)Dxyydx等于(A
23、) 12o(B)1Dxy(C) 14(csin)xyd(D)0 (5)设 n阶方阵 A、 B、 C满足关系式 ,ABE其中 是阶单位阵,则必有(A) E(B)CB(C) (D)三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20lim(cos).x(2)设 n是曲面 236yz在点 (1,)P处的指向外侧的法向量,求函数268uz在点 处沿方向 n的方向导数.(3) 2(),xydv其中 是由曲线20yzx绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 4z所围城的立体.四、(本题满分 6 分)过点 0,O和 (,A的曲线族 sin(0)yax中,求一条曲线 ,L使沿该曲线 从到 的积分3(
24、1)(2)ydxy的值最小.五、(本题满分 8 分)将函数 (1)fxx展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 21n的和.六、 （本题满分 7 分）设函数 ()fx在 0,1上连续 ,()内可导,且123,fdf证明在 ,内存在一点 ,c使 ()0.f七、 （本题满分 8 分）已知1234(,0),(1,5)(1,2,)(1,8)aa及 3.b(1) a、 为何值时 ,不能表示成 1234,的线性组合 ?(2) 、 为何值时 有 1234,的唯一的线性表示式 ?写出该表示式.八、 （本题满分 6 分）设 A是 n阶正定阵 ,E是 n阶单位阵,证明 AE的行列式大于1.九、 （本题满分
25、 8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 (,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数( 是法线与 x轴的交点),且曲线在点 (1,)处的切线与 x轴平行.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量 X服从均值为 2、方差为 2的正态分布, 且240.3,P则 0P=_.(2)随机地向半圆 2(yax为正常数) 内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 4的概率为_.十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量 (,)XY的密度函数为,fxy(2)e0,0 xy其
26、求随机变量 2Z的分布函数.1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设函数 ()yx由方程 ecos()0xy确定,则dyx=_.(2)函数 22ln()uxyz在点 (1,2)M处的梯度gradM=_.(3)设 ()fx 21 0x,则其以 2为周期的傅里叶级数在点 处收敛于_.(4)微分方程 tancosyx的通解为 y=_.(5)设1212122,nnnbbaaA 其中0,(,).iiab则矩阵 A的秩 ()r=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题
27、给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 1x时,函数12ex的极限(A)等于 2 (B)等于 0(C)为 (D)不存在但不为(2)级数 1()cos)(na常数 0)(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关 (3)在曲线 23,xtyzt的所有切线中,与平面24xyz平行的切线(A)只有 1 条 (B)只有 2 条(C)至少有 3 条 (D)不存在(4)设 2(),fxx则使 ()0nf存在的最高阶数 n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使 120,1都是线性方程组 AX0的解 ,只要系数矩阵 A为(A)(B)
28、201(C) 201(D)4三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20esin1lim.x(2)设 (i,),xzfy其中 f具有二阶连续偏导数 ,求2.zxy(3)设 ()f 21ex0,求 31(2).fxd四、(本题满分 6 分)求微分方程 32exy的通解.五、(本题满分 8 分)计算曲面积分 323232(),xazdyaxdzaydx其中 为上半球面 的上侧.六、 （本题满分 7 分）设 ()0,(),fxf证明对任何 120,x有1212.x七、 （本题满分 8 分）在变力 Fyzixjyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面221xyzabc上第一
29、卦限的点 (,)M问当 、 、取何值时,力 F所做的功 W最大?并求出 的最大值. 八、 （本题满分 7 分）设向量组 123,线性相关,向量组 234,线性无关,问:(1) 能否由 线性表出?证明你的结论.(2) 4能否由 123,线性表出?证明你的结论.九、 （本题满分 7 分）设 3 阶矩阵 A的特征值为 123,对应的特征向量依次为 123,49又向量12.3(1)将 用 123,线性表出.(2)求 (nA为自然数).十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 11()(,()0,()(),4PABCPABCPB则事件 、 、 全不发生
30、的概率为_.(2)设随机变量 X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望2eE=_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X与 Y独立 ,服从正态分布 2(,)NY服从,上的均匀分布,试求 Z的概率分布密度( 计算结果用标准正态分布函数 表示,其中21)e)txd.1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)函数 1()2)(0xFdtx的单调减少区间为_.(2)由曲线 230xyz绕 轴旋转一周得到的旋转面在点(0,)处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设函数 2()()fxx的傅里叶级数展
31、开式为01cosin),2nab则其中系数 3b的值为_.(4)设数量场 22l,uxyz则div(gra)=_.(5)设 n阶矩阵 A的各行元素之和均为零,且 A的秩为 1,n则线性方程组 X0的通解为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 sin2340()(),xftdgx则当 0x时,fx是 g的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线 22()xy所围成的区域面积可用定积分表示为(A) 40cosd (B)2(C) 40
32、cs (D)2401(o)d(3)设有直线 158:21xyzl与 2:l 63xyz则 1l与2l的夹角为(A) 6 (B) 4(C) 3 (D) 2(4)设曲线积分 ()esin()cosxLftydfxyd 与路径无关 ,其中 ()fx具有一阶连续导数,且 0),f则 等于(A) e2(B) e2x(C) 1x(D)e12x(5)已知1234,69tQP为三阶非零矩阵,且满足 0,PQ则(A) 6t时 P的秩必为 1 (B) 6t时的秩必为 2 (C) 时 的秩必为 1 (D) 时的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 limsnco).xx(2)
33、求 e.1xd(3)求微分方程 22,y满足初始条件 1xy的特解 .四、(本题满分 6 分)计算 22,xzdyzxdyA其中 是由曲面z与 所围立体的表面外侧.五、(本题满分 7 分)求级数20(1)n的和.六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)设在 0,)上函数 ()fx有连续导数,且()(,fxkf证明 在 0,)内有且仅有一个零点.(2)设 ,bae证明 .ba七、 （本题满分 8 分）已知二次型 22123133(,) (0)fxxax通过正交变换化成标准形 25,yy求参数 及所用的正交变换矩阵.八、 （本题满分 6 分）设 A是 nm矩阵 ,B是 n矩阵
34、,其中 ,mI是 n阶单位矩阵,若 ,I证明 的列向量组线性无关.九、 （本题满分 6 分）设物体 A从点 (0,1)出发,以速度大小为常数 v沿 y轴正向运动.物体 B从点 与 同时出发,其速度大小为 2,方向始终指向,试建立物体 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设随机变量 X服从 (0,)上的均匀分布,则随机变量2Y在 (0,4)内的概率分布密度 ()Yfy=_.十一、
35、（本题满分 6 分）设随机变量 X的概率分布密度为 1()e,.2xf(1)求 的数学期望 E和方差 .DX(2)求 与 的协方差,并问 与 是否不相关?(3)问 与 是否相互独立?为什么?1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 01limcot()sinxx= _.(2)曲面 e23zy在点 (1,20)处的切平面方程为_.(3)设 sin,xuy则2u在点 (,)处的值为_.(4)设区域 D为 22,R则2()Dxydab=_.(5)已知 1,3,2设 ,A其中 是 的转置,则nA=
36、_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 43423422sinco,(sinco),(sinco),1xMdNxdPxxd则有(A) P(B)(C) (D)N(2)二元函数 (,)fxy在点 0(,)处两个偏导数 0(,)xfy、0(,)yfx存在是 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数 0,且级数 21na收敛,则级数 21()nna(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)
37、收敛性与有关 (4) 20tan(1cos)lim,2)xxbcde其中 20,ac则必有(A) 4b(B) 4bd (C) (D) c (5)已知向量组 1234,线性无关,则向量组(A) 12 1线性无关 (B)34,线性无关 (C) 12341,线性无关 (D)34,线性无关 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 21cos()costxtyud,求 yx、2在2t的值. (2)将函数 1()lnarctn42xfxx展开成 x的幂级数.(3)求 .sin(2)sidx四、(本题满分 6 分)计算曲面积分2,Sxdyz其中 S是由曲面22xyR及 ,(0)R两
38、平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分 9 分)设 )fx具有二阶连续函数 ,(),()1,ff且2(0yydxyd为一全微分方程,求)fx及此全微分方程的通解.六、(本题满分 8 分)设 )fx在点 0的某一邻域内具有二阶连续导数,且0(lim,x证明级数 1()nf绝对收敛.七、 （本题满分 6 分）已知点 A与 B的直角坐标分别为 (1,0)与 (,1).线段 AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为 .S求由 及两平面 0,z所围成的立体体积.八、 （本题满分 8 分）设四元线性齐次方程组()为 1240x,又已知某线性齐次方程组( )的通解为 12(,)(1,).kk(1)求线性方程组(
39、)的基础解析. (2)问线性方程组()和( )是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、 （本题满分 6 分）设 A为 n阶非零方阵 *,A是 的伴随矩阵 ,A是 的转置矩阵,当 *时,证明 0.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 A、 B两个事件满足条件 ()(),PAB且(),PAp则 ()B=_.(2)设相互独立的两个随机变量 ,XY具有同一分布率,且 X的分布率为0 1P2则随机变量 max,ZXY的分布率为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 和 分别服从正态分布 2(1,3)N和 2(0,
40、4)且X与 Y的相关系数 1,2xy设 XYZ(1)求 Z的数学期望 E和 D方差.(2)求 与 的相关系数 xz(3)问 与 是否相互独立?为什么?1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)2sin0lim13)xx=_.(2) 2coxdt= _.(3)设 (),abA则 ()()abcaA=_.(4)幂级数 211(3)nnx的收敛半径 R=_.(5)设三阶方阵 ,B满足关系式 16,B且031,47A则 =_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的
41、四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线 :L 2103xyz,及平面:420,xyz则直线(A)平行于 (B)在 上 (C)垂直于 (D)与 斜交(2)设在 0,1上 ()0,fx则 (),1()0ff或()f的大小顺序是(A) ()()ff(B)(1)0f(C) ()1(0)ff(D)()f(3)设 )fx可导 ,()(sin),Ffx则 (0f是()Fx在 0处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设 1()ln),nu则级数(A) 1n与 21n都收敛 (B) 1nu
42、与21nu都发散 (C) 1n收敛,而 21nu发散 (D) 1nu收敛,而 21nu发散(5)设 12131213233010, ,aaABPP则必有(A) 12AP=B(B)2(C) 12 (D)2PA=B三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)设 2()(e0sin,yufxyzzx其中 ,f都具有一阶连续偏导数,且 .求 .dux(2)设函数 ()fx在区间 ,1上连续,并设 10(),fxdA求10.xdyd四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分)(1)计算曲面积分 zS其中 为锥面 2zxy在柱体2xy内的部分.(2)将函数 ()1(02)fx
43、x展开成周期为 4 的余弦函数 .五、(本题满分 7 分)设曲线 L位于平面 xOy的第一象限内 ,L上任一点 M处的切线与 y轴总相交,交点记为 .A已知 A且 过点 3(,)2求的方程.六、(本题满分 8 分)设函数 (,Qxy在平面 xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分2)Ld与路径无关,并且对任意 t恒有(,1) (1,)0 0(2(,)t txydyxQyd求 (,).xy七、 （本题满分 8 分）假设函数 ()fx和 g在 ,ab上存在二阶导数,并且()0,()0gxa试证:(1)在开区间 (,b内 .x(2)在开区间 ,)a内至少存在一点 ,使 ().ffg八、 （本题满分 7 分）设三阶实对称矩阵 A的特征值为 123,1,对应于1的特征向量为 10,求 .九、 （本题满分 6 分）设 A为 n阶矩阵,满足 (AI是 n阶单位矩阵 ,A是 的转置矩阵 )0求 .十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设 X表示 10 次独立重复射击
