1、Chapter 3 Torsion,第三章 扭转,对称扳手拧紧螺母,第3章 扭转 Torsion,第一节 扭转的概念及外力偶矩的计算,第三节 纯剪切,第二节 杆受扭时的内力计算,第四节 圆轴扭转时的应力,第五节 圆轴扭转时的变形,第六节 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力,第七节 非圆截面杆扭转,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。,第一节 扭转的概念及外力偶矩的计算,受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的力偶。,变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。,工程实例,功
2、率 PkW,转速 nr/min,取左段分析：,= M,第二节 杆受扭时的内力计算,用截面法求内力：,二 扭矩图 （ Torsional moment diagram),（+）,扭矩随构件横截面的位置变化的图线,（-）,扭矩图,扭矩图,1,2,第三节 纯剪切,纯剪切若单元体各个面上只承受切应力而没有正应力,单元体是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小的正立方体，以表示几何上的一点。,纯剪切的变形规律与材料在剪切下的力学性质，通过薄壁圆筒的纯扭转进行研究。,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 M。,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。, 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间
3、距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,3. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,一、薄壁圆筒切应力 ,二、切应力互等定理,切应力互等定理： 二个相互垂直的平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,三、剪切胡克定律,实验证明：当切应力不超过材料的比例极限 时，切应力 与切应变 成正比。,式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，不同材料的G值可
4、通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,四、剪切应变能,位移,外力,不计能量损耗，外力功转换为单元体内所积蓄的变形能，即,因此单元体的剪切应变能密度为,圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径保持为直线，相邻两截面间距离不变。,第四节 圆轴扭转时的应力,按照这一假设，扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。,一、横截面上的应力,1、变形几何关系,2、物理
5、关系(剪切胡克定律),3、静力关系, 极惯性矩,由式(1)得,即,代入式(2),可以算出横截面上距圆心为的任意点的切应力,在圆截面边缘上，为最大值R，得最大切应力,令,抗扭截面系数,公式中几何量 与 的计算,a、实心圆截面,因此,而,b、空心圆截面,二、强度条件,强度条件,轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。,根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。,理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力与许用正应力之间存在下述关系：,对于塑性材料 t (0.5一0.577) 对于脆性材料 t (0.81.0) l式中 l
6、代表许用拉应力,例题 某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,满足,若将空心轴改成实心轴，仍使,空心轴与实心轴的截面面积比(重量比),同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料？,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，抗扭截面系数Wt也比较大，强度和刚度均可提高
7、；, 对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,第五节 圆轴扭转时的变形,一、扭转时的变形,计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。,相对扭转角：,GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。,前面得到,表示相距为 的两个横截面之间的相对转角,即：,二、刚度条件,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,单位长度的扭转角：,例1,例2 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1
8、 和BC 段的直径d2；(2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,例3 截面圆轴,求：（1）轴的最大切应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d应为多大？,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大切应力,作扭矩图：,因此,（2）扭转角,截面B：,截面C：,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,例4 图示圆截面杆AB左端固
9、定，承受一集度为t的 均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象,根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：,微段两端截面的相对扭转角为：,A,B,因此,小 结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,第六节 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力,弹簧特点：,(1) d远小于D,弹簧丝截面上的应力计算,(1) 内力分析-截面法,T,：F-FS=0 FS=F,FS,(2) 应力分析,+,第七节 Non-round shaft under torsion,特点：横截面变形后不再保持平面，既产生翘曲。平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。,分类：,自由扭转,杆端只受扭转力偶矩的作用，杆件的翘曲不受任何限制，各个横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，故横截面上没有正应力而只有切应力。,约束扭转,由于约束条件或受力条件不同，造成各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度变化。于是横截面上除切应力外还有正应力。,自由扭转 （弹性力学）,特 点：,（2）横截面凸角处，切应力为0,（3）最大切应力发生在长边的中点,习题,3.1 3.3 3.8 3.10 3.14,
