1、课时提升作业 五柱坐标系与球坐标系简介一、选择题(每小题 6分,共 18分)1.(2016泰安高二检测)设点 A的柱坐标为(1,0),则点的直角坐标为 ( )A.(-1,0,0) B.(1,0,0)C.(0,0,-1) D.(-1,0)【解析】选 A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z),因为( ,z)=(1,0),由 得 即x=,=,=, x=,=,=0, x=1,=0,=0.所以点 A(1,0)的直角坐标为(-1,0,0).【补偿训练】点 M的直角坐标为( ,1,-2),则它的柱坐标为 ( )3A. B.(2,6,2) (2,3,2)C. D.(2,6,2) (2,6,2)【解
2、析】选 C.= =2,tan= = ,= ,所以点 M 的柱坐标为( 3)2+1213 33 6.(2,6,2)2.点的球坐标 化为直角坐标为 ( )(2,2,23)A.(1, ,0) B.(1,- ,0)3 3C.(-1, ,0) D.(-1,- ,0)3 3【解析】选 C.设点的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,),因为(r,)= ,(2,2,23)由 得 即x=,=,=, x=2223,=2223,=22, x=1,=3,=0.故化为直角坐标为(-1, ,0).33.在球坐标系中,满足 = ,r0,+),0,的动点 P(r,)的轨4迹为 ( )A.点 B.直线C.半平面 D.半球面
3、【解析】选 C.由于在球坐标系中,= ,r0,+ ),0,故射线 OM 平分4xOy,由球坐标系的意义,知动点 P(r,)的轨迹为二面角 x-ON-y 的平分面,这是半平面,如图所示.二、填空题(每小题 6分,共 12分)4.已知在柱坐标系中,点 M的柱坐标为 ,且点 M在坐标轴 Oy上的射影(2,23, 5)为 N,则|MN|=_.【解析】设点 M 在平面 xOy 上的射影为 P,连接 PN,则 PN 为线段 MN 在平面 xOy 上的射影.因为 MN 直线 Oy,MP平面 xOy,所以 PN直线 Oy.所以|OP|=2,|PN|= =1,|23|在 RtMNP 中,MPN=90,所以|MN
4、|= = = .|2+|2 ( 5)2+12 6答案: 65.点 M的球坐标为 ,则 M的直角坐标为 _.(4,2,53)【解析】因为 M 的球坐标为 ,(4,2,53)所以 r=4,= ,=2 53所以 x=rsincos=41 =2,12y=rsinsin=41 =-2 ,(- 32) 3z=rcos=40=0,故 M 的直角坐标为(2,-2 ,0).3答案: (2,-2 ,0)3【补偿训练】空间点 P的柱坐标为 ,则点 P关于 z轴的对称点为(6,3,4)_.【解析】点 P 关于 z 轴的对称点坐标为 .(6,43,4)答案: (6,43,4)三、解答题(每小题 10分,共 30分)6.设点 M的直角坐标为(1,-1, ),求点 M的坐标.6【解析】由坐标变换公式,得 r= =2 ,x2+2+2 2由 rcos=z(0),得 cos= = ,6 32由于 0,所以 = .6又 tan= =-1(00,盘旋的角速度为 0,求 t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.【解析】取圆锥的顶点 O 为坐标原点,建立球坐标系,设 t 时刻蚂蚁在点 M(r,)处,由题意得 =t,z=vt,= ,3由于 =cos=cos = ,于是 r=2z=2vt,z 312所以 t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为M ,t0,+).(2,3,)
