1、26单元 ,九，下，反比例函数知识点及经典型题1理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k 为常数， ） ，能判断一个给定函数是否为反比例函数2能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理 解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点 3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 （k 为常数， ）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题 4对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型5进一步理解常量与变量
2、的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法 （三）重点难点1重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用 2难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握 二、基础知识（一）反比例函数的概念1 （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从而得到反比例函数的解析 3反比例函数 的自变量 ，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 的图象时，应注意
3、自变量 x 的取值不能为 0，且 x 应对称取点（关于原点对称） （三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式： （ ）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直 越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐 近线当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
4、则（ ， ）和（ ，）在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图 1，设点 P（a，b）是双曲线 上任意一点，作 PAx 轴于 A 点，PBy 轴于B 点，则矩形 PBOA 的面积是 （三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ） 如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QCPA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 图 1 图 25说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比
5、例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题三、例题分析1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） A B C D答案：（1）C；（2）A2图象和性质（1）已知函数 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=_（2）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，
6、则函数 的图象位于第_象限（3）若反比例函数 经过点（ ，2） ，则一次函数 的图象一定不经过第_象限（4）已知 ab0，点 P（a，b）在反比例函数 的图象上，则直线 不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若 P（2，2）和 Q（m， ）是反比例函数 图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函数 和 （k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D答案：（1） 1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B3函数的增减性（1）在
7、反比例函数 的图象上有两点 ， ，且，则 的值为（ ） A正数 B负数 C非正数 D非负数（ 2）在函数 （a 为常数）的图象上有三个点 ， ，则函数值 、 、 的大小关系是（ ） A B C D （3）下列四个函数中： ； ； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个（4）已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减小” ） 答案：（1）A；（2）D；（3）B注意， （ 3）中只有是符合题意的，而是在“每一个象限内” y 随 x 的增大而减小4解
8、析式的确定（1）若 与 成反比例， 与 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 （2，m） ，则m=_，k=_，它们的另一个交点为_（3）已知反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象在第二、四象限，求 的值（4）已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 （ ）的图象在第一象限内的交点为 P （x 0，3） 求 x 0 的值；求一次函数和反比例函数的解析式（5）为了预防“非典” ，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 x
9、（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与 x 成反比例（如图所示） ，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为_，自变量 x 的取值范围是_；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B； （2）4，8， （ ， ） ；（
10、3）依题意， 且 ，解得 （4）依题意， 解得一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 （5） ， ， ；30；消毒时间为 （分钟） ，所以消毒有效5面积计算（1）如图，在函数 的图象上有三个点 A、B、C，过这三个点分别向 x 轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、，则（ ） A B C D第（1）题图 第（2）题图（2）如图，A、B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点，AC/y 轴，BC/x 轴，ABC 的面积 S，则（ ） AS=1 B1S2 CS=2 DS2（3）如图，RtAOB 的顶点 A 在双曲线 上，且 SAOB=3，求
11、m 的值第（3）题图 第（4）题图（4）已知函数 的图象和两条直线 y=x，y=2x 在第一象限内分别相交于 P1 和 P2两点，过 P1 分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1，P1R1，垂足分别为 Q1，R1，过 P2 分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（ 5）如图，正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连接 BC，若ABC 面积为 S，则 S=_第（5）题图 第（6）题图（6）如图在
12、RtABO 中，顶点 A 是双曲线 与直线 在第四象限的交点，ABx 轴于 B 且 SABO= 求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和AOC 的面积（7）如图，已知正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数 （k0，x0）的图象上，点 P （m，n）是函数 （k0，x0）的图象上任意一点，过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为E、F，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外的部分的面积为 S 求 B 点坐标和 k 的值； 当 时，求点 P 的坐标； 写出 S 关于 m 的函数关系式答案：（1）D；
13、（2）C；（3）6；（4） ， ，矩形 O Q 1P1 R 1 的周长为 8，O Q 2P2 R 2 的周长为 ，前者大（5）1（6）双曲线为 ，直线为 ；直线与两轴的交点分别为（0， ）和（ ，0） ，且 A（1， ）和C（ ，1） ，因此 面积为 4（7）B（3，3） ， ； 时，E（6，0） ， ； 6综合应用（ 1）若函数 y=k1x（k10）和函数 （k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则 k1 和 k2（ ） A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反（2）如图，一次函数 的图象与反比例数的图象交于 A、B 两点：A（ ，1） ，B（1，n） 求反比例函数和一次函数的解
14、析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围（ 3）如图所示，已知一次函数 （k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 （m0）的图象在第一象限交于 C 点，CD 垂直于 x 轴，垂足为 D，若 OA=OB=OD=1 求点 A、B、D 的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式（4）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于第一象限 C、D 两点，坐标轴交于 A、B 两点，连结 OC，OD（O 是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值； 双曲线上是否存在一点 P，使得POC 和POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点
15、 P 的坐标；若不存在，说明理由（5）不解方程，判断下列方程解的个数 ； （2） 反比例函数为 ，一次函数为 ；范围是 或 （3）A（0， ） ，B（0，1） ，D（1，0） ；一次函数为 ，反比例函数为 （4）反比例函数为 ， ；存在 （2，2） （5）构造双曲线 和直线 ，它们无交点，说明原方程无实数解；反比例函数历年考题一、选择题1、 （2006深圳）函数 （k0）的图象如图所示，那么函数 y=kxk 的图象大致是（ ）A、 B、 C、 D、3、 （2008茂名）已知反比例函数 y= （a0）的图象，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而减少，则一次函数 y=ax+a 的图象不经过（
16、）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限4、下列等式中，表示 y 是 x 的反比例函数的是（ ）A、y= B、xy= C、y=x1 D、5、已知 y 与 x 成正比例，z 与 y 成反比例，那么 z 与 x 之间的关系是（ ）A、成正比例 B、成反比例 C、有可能成正比例，也有可能成反比例D、无法确定6、 （2010青岛）函数 y=axa 与 （a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A、 B、 C、 D、7、 （2007宁波）如图是一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象，则关于 x的方程 kx=b 的解是（ ）A、x 1=1，x 2=2 B、x 1=1，x 2=
17、2 C、x 1=1，x 2=2D、x 1=1，x 2=28、如图是三个反比例函数 y= ，y= ，y= 在 x 轴上方的图象，由此观察得到 k1，k 2，k 3的大小关系为（ ）A、k 1k 2k 3 B、k 3k 2k 1 C、k 2k 3k 1 D、k 3k 1k 29、 （2008江西）若点（ x0，y 0）在函数 y= （x0）的图象上，且 x0y0=2，则它的图象大致是（ ）A、 B、 C、 D、10、 （2008临沂）如图，直线 y=kx（k0）与双曲线 y= 交于 A，B 两点，若A，B 两点的坐标分别为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1y2+x2y1的值
18、为（ ）A、8 B、4 C、4 D、015、 （2009宁波）反比例函数 y= 在第一象限的图象如图所示，则 k 的值可能是（ ）A、1 B、2 C、3 D、416、 （2009兰州）如图，在直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是双曲线 y= （x0）上的一个动点，当点 B 的横坐标逐渐增大时，OAB的面积将会（ ）A、逐渐增大 B、不变 C、逐渐减小 D、先增大后减小17、 （2008兰州）已知反比例函数 y= 的图象经过点（m，3m） ，则此反比例函数的图象在（ ）A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限19、若反比例函数 y=（2m1
19、） 的图象在第二，四象限，则 m 的值是（ ）A、1 或 1 B、小于 的任意实数 C、1 D、不能确定20、 （2004茂名）若函数 y=2x+k 的图象与 y 轴的正半轴相交，则函数 y= 的图象所在的象限是（ ）A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、四象限 D、第一、三象限21、 （2003辽宁）已知一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数 y= 的图象在（ ）A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第一、三象限 D、第二、四象限22、 （2009深圳）如图，反比例函数 y= 的图象与直线 y= x 的交点为A，B，过点 A 作 y 轴的平行线与过点 B
20、作 x 轴的平行线相交于点 C，则ABC 的面积为（ ）A、8 B、6 C、4 D、223、 （2009三明）如图，直线 l 和双曲线 y= （k0）交于 A、B 两点，P 是线段 AB 上的点（不与 A、B 重合） ，过点 A、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D、E，连接 OA、OB、OP，设AOC 的面积为 S1、BOD 的面积为S2、POE 的面积 S3，则有（ ）A、S 1S 2S 3 B、S 1S 2S 3 C、S 1=S2S 3D、s1=s2s 324、 （2009河池）如图，A，B 是函数 y= 的图象上关于原点对称的任意两点，BCx 轴，ACy 轴，ABC 的面积记为 S，则（ ）A、S=2 B、S=4 C、2S4 D、S42
