1、4.6探索多边形的内角和与外角和(1),n边形的内角和等于(n2)180,在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成封闭图形叫做三角形。,在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做四边形。,在平面内，由5条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做五边形。,多 边 形,在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。,让我们一起来学习多边形的知识吧！,多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形叫做多边形,边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边,顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点
2、,对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线,内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,多边形的命名：,五边形ABCDE，或五边形EDCBA,多边形的内角和,一般的四边形的内角和是多少度呢,任意一个四边形的内角和都等于360.,看谁更聪明:,(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？(想一想),在求五边形的内角和时，先在五边形中用对角线把五边形切割成三个三角形.进而利用三角形的内角和求出五边形的内角和，这是一种常用的数学的方法。,五边形的内角和=,ABC的内角和,+ ACD的内角和,+ ADE内角角和,= 180 3= 540,探索:多边形的内角和,180,360
3、,540,720,900,3,4,5,6,7,n,(n-2) 180,1,2,3,4,5,n-2,结论:,n边形的内角和为,(n-2) 180.,能否用第二种分割方式来解决这个问题？,多了什么？如何处理？,这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形，故所有三角形的内角和为（n-1）180 ，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此n边形的内角和为 （n-1）180 - 180 = (n-2)180 ,该图中n边形共有n个三角形，故所有三角形内角和为n180，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 ，因此n边形的内角和为 n180 - 360 = (n-2)180 ,能否用第
4、三种分割方式来解决这个问题？,多了什么？如何处理？,大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？,n必须是大于等于3的整数.,想一想:,n边形的内角和等于(n2)180,(n是整数且n3),你能看出下图中的这些多边形它们的边、角有什么特点吗？,认真观察：,正多边形的定义： 在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如右图中的多边形分别为：正三角形、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形、正八边形.,同一图形的内角都相等,同一图形的边都相等,来思考几个问题：,1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？,2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？,如菱形的四条
5、边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.,如矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等，所以应该说：一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等。,3.（1）你能算出正五边形的每个内角的度数吗？,正n边形的每个内角为：,（2）那么正六边形呢？正八边形呢？,（3）你能归纳一下，正多边形的内角度数是怎么算的吗？,108,120,135,能力训练：,1.一个多边形的内角和为2520，则多边形的边数为_,2.多边形得边数增加一条时，其内角和就增加 度,3下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ） A 540 B 280 C 1800 D 900,5.五边形AB
6、CDE中，若A = D = 90，B : C : E = 3:8:7，求B ，C ，E,你学会了吗?,(n2)180=2520 ，n=16,16,180,B,多边形的内角和必须能被180整除,4.一个九边形的八个内角都是140，那么，它的第九个内角为_度,140,综合拓展：,小新在进行多边形内角和的计算时，求得内角和为1125，显然他做错了，当他发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角，同学们，你们知道小亮少加的这个内角是多少度吗？他求的是几边形的内角和呢？,你能解决这个问题吗？,继续努力：,（1）如图甲，以ABC的各个顶点为圆心，2cm 为半径画三个圆，则圆与ABC的公共部分的面积和为_,
7、（2）如图乙，以四边形ABCD的各个顶点为圆心，2cm为半径画四个圆，则圆与四边形ABCD的公共部分的面积和为_,（3）如图丙，以五边形ABCDE的各个顶点为圆心，2cm为半径画五个圆，则圆与五边形ABCE的公共部分的面积和为_,（4）通过（1）、（2）、（3）你能猜想以n边形的各个顶点为圆心，2cm为半径画n个圆，则圆与n边形的公共部分的面积和吗？说说你的理由。,S公共部分=,本节课我们学习了些什么知识？,小结:,1、研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式.即：n边形的内角和等于(n2)180,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.,2、正多边形的每个内角为： 它要以知道多边形的内角和为前提,再见,
