1、1,一元函数积分,鲁 坚 深圳大学 数学与计算科学学院,2,函数积分 int(s) 符号表达式s的不定积分. int(s,v) 符号s关于变量v的不定积分.,int(s,a,b) 符号表达式s的定积分, a,b分别为上下限. int(s,v,a,b) 符号表达式s关于变量v从a到b的定积分. 当系统求不出解析解，会自动求原点附近的一个近似解。,3,syms x n int(xn) Ans=x(n+1)/(n+1) int(1/(1+x2) Ans=atan(x),4,syms x int(x7,0,1); Ans=1/8 int(1/x,1,2) Ans=log(2),5,syms x a f
2、=a*x*sin(x); F1=int(f) F2=int(f,a) F3=int(f,0,2*pi) 结果： F1=a*(sin(x)-x*cos(x) F2=1/2*a2*x*sin(x) F3=-2*pi*a,6,syms x f=exp(-x2) F1=int(f,x,-inf,inf) 结果： F1=pi(1/2),7,（无解析解）,计算积分定积分,8,定积分广义积分,（无解析解）,9,微分方程,符号微分方程求解 在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。
3、符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为： dsolve(e,c,v) 该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。 dsolve在求常微分方程组时的调用格式为： dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn) 该函数求解常微分方程组e1,en在初值条件c1,cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,vn给出求解变量。,10,求 的通解,y=dsolve(Dy=a*y) y= exp(a*t)*C1,11,求 的特解,y=dsolve(Dy=a*y,y(0)=1)
4、 y= exp(a*t),12,求 的二阶通解,y=dsolve(D2y=-a2*y) y= C1*cos(a*t)+C2*sin(a*t),13,求 的二阶特解,y=dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0) y=cos(a*t),14,求 的通解,y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) y= x*(-log(x)+2+C1)/(-log(x)+C1),15,求 的特解，y(2)=1,y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x),16,求 的通解,x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) x = -1/3
5、*C1+4/3*C1*exp(3*t)-2/3*C2*exp(3*t)+2/3*C2 y = 2/3*C1*exp(3*t)-2/3*C1+4/3*C2-1/3*C2*exp(3*t),17,多元函数微分,多元函数定义 二元符号表达式函数定义法 例 定义二元函数 syms x y z=5*x2+4*y3+sin(x*y) M文件定义函数 function z=f1(x,y) z=5*x.2+4*y.3+sin(x.*y),18,绘出上例函数图形。 x=linspace(-10,10,40); y=3*x; x,y=meshgrid(x,y); z=f1(x,y); surf(x,y,z) sh
6、ading interp,19,结果,20,多元函数偏导数和高阶偏导数,五种格式 diff(z,x) %函数对x求偏导数 diff(z,y) %函数对y求篇导数 diff(z,x,2) %函数对x求2阶偏导数 diff(z,y,2) %函数对y求2阶偏导数 diff(diff(z,x),y) %函数对x再对y求二阶偏导数,21,syms x y z Z=x2*y3+sin(x*y) F1=diff(z,x) F2=diff(z,y) F3=diff(z,x,2) F4=diff(z,y,2) F5=diff(diff(z,x),y) x=1;y=pi;F6=eval(f1),22,多元函数全微
7、分,公式格式Dz=diff(z,x)*dx+diff(z,y)*dy,23,syms x y z=(x2+y2)*sin(x*y); dz=diff(z,x)*dx+diff(z,y)*dy 结果： dz=(2*x*sin(x*y)+(x2+y2)*cos(x*y)*y)*dx+(2*y*sin(x*y)+(x2+y2)*cos(x*y)*x)*dy,24,重积分,先将二重积分化二次积分三重积分化三次积分,25,命令格式 二次积分 int(int(f,y,y1(x),y2(x),x,a,b) 三次积分 int(int(int(f,z,z1(x,y),z2(x,y),y,y1(x),y2(x),
8、x,a,b),26,解：syms x y f1=x*y2 S1=int(int(f1,y,x,x2),x,2,4) 结果： S1=39808/15,27,解：syms x y z f1=x*y*z S1=int(int(int(f1,z,0,x*y),y,0,x),x,0,1) 结果： S1=1/64,28,级 数,级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,29,求下列级数的和,syms n; s1=symsu
9、m(1/n2,n,1,inf) %求s1 s1=1/6*pi2 s2=symsum(n2,1,100) %求s2 s2=338350,30,函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： (1)taylor(f) 默认在x0点展开6项 (2)taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,31,求 的5阶泰勒级数展开,syms x; f1=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(
10、1/3); taylor(f1,x,5) Ans=1/6*x2+x3+119/72*x4,32,将 在x=1处按5次多项式展开,syms x; f2=(1+x+x2)/(1-x+x2); taylor(f2,6,1) Ans=3-2*(x-1)2+2*(x-1)3-2*(x-1)5,33,syms x F=exp(x); Y1=taylor(F,x,5) Y2=taylor(F,x,5,3) 结果： Y1=1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4 Y2=exp(3)+exp(3)*(x-3)+1/2*exp(3)*(x-3)2+1/6*exp(3)*(x-3)3+1/24*exp(3
11、)*(x-3)4,34,syms x y t f1=taylor(sin(x),x,7) 结果： f1=x-1/6*x3+1/120*x5,35,syms x y t f1=taylor(sin(x),x,6,1) 结果： f1=sin(1)+cos(1)*(x-1)-1/2*sin(1)*(x-1)2-1/6*cos(1)*(x-1)3+1/24*sin(1)*(x-1)4+1/120*cos(1)*(x-1)5,36,syms x y t f1=taylor(log(x),x,5,1) 结果： f1=x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4,37,syms x f=exp(x)+2*cos(x) f1=taylor(f,x,4) 结果： f1=3+x-1/2*x2+1/6*x3,
