1、1第一章 计数原理基本计数原理和排列组合、 概念回顾：（一）两个原理.1. 加法原理每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 2. 乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同3. 可以有重复元素的排列.从 个不同元素中，每次取出 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第mn二第 位上选取元素的方法都是 个，所以从 个不同元素中，每次取出 个元素可重
2、复排列数nmn例如： 件物品放入 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： 种）n. nm（二）排列组合1、排列（1 ） 排列数的计算：从 个不同元素中取出 个元素排成一列，称为从 个不同元素中取出 个元素的一个排列. 从 个不n)(nmnmn同元素中取出 个元素的一个排列数，用符号 表示.mnA（2 ） 排列数公式： 注意： 规定 ),()!()1()1( NnmnAm !)1(!nn 1!0注：含有可重元素的排列问题对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 有 个不同元素 其中限重复数为 ，且Skna,.21 kn.21、, 则 的排列个数等于 . knn.21S!21kn例如：已
3、知数字 3、2、2，求其排列个数 又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数3!)(. 1!3n2、组合（1 ） 组合数的计算：从 个不同的元素中任取 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合. 从 个不)(nmnmn同元素中取出 个元素的一个排列数，用符号 表示。mnC（2 ） 排列数公式： 规定)!(!)1()ACmn 10nC2（3 ）两个公式： mnnCmnmnC11二、基础训练：1用 1，2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）（A）24 个 （B）30 个 （C）40 个 （D）60 个2甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不
4、同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）（A）12 种 （B）18 种 （C）24 种 （D）96 种3某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）（A）6 种 （B）9 种 （C）18 种 （D）24 种4由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A） l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D ） 21：235由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A）42031 （B）42103 （C）42130
5、（D）430216若直线方程 的系数 可以从0，1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示0yxBA、的直线条数是 （ ） （A） 一 2 （B） （C） +2 （D） 2525255A17从 这五个元素中任取四个排成一列， 不排在第二的不同排法有（ ） edcba, b（A） （B） （C） （D）3514231A453418. 6 个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法9. 6 个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法10.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种三、解题方法及训练：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分
6、类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个 奎 屯王 新 敞新 疆 （30 个）2、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。例如：7 人站
7、成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_ 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案:3600)3、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。例如：6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种 奎 屯王 新 敞新 疆 （答案：240）4、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 排列组合应用题往往和数学其他章节某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知识对答案进行取舍。3例如：从集合 中任取 3 个元素分别作为直线方程 中的 A
8、、 B、 C，所得的经过坐1,7532,0 0CByAx标原点的直线有_条 奎 屯王 新 敞新 疆 （答案：30）5、剪截法（隔板法）： 个 相同小球放入 个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 个相n)(nm n同小球串成一串从间隙里选 个结点剪成 段（插入 块隔板） ，有 种方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j111n练一练：例 1 求不同的排法种数：（1）6 男 2 女排成一排，2 女相邻； （2）6 男 2 女排成一排，2 女不能相邻；（3）4 男 4 女排成一排，同性者相邻； （4）4 男 4 女排成一排，同性者不能相邻解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法
9、解决： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7A（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解6 男先排实位，再在 7 个空位中排 2 女，即用插孔法解决： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7A另法：用捆绑与剔除相结合： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j87A（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4A（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j34高考题训练（一）：一、选择题1.（ 2009 广 东 卷 理 ） 2010 年广州亚运会组委会要从小张
10、、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 24312AC；若小张、小赵都入选，则有选法 123A，共有选法 36 种，选 A. 2.（2009 北京卷文）用数字 1，2，3，4 ，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A8 B24 C48 D120【答案】C.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.2 和
11、 4 排在末位时，共有 12A种排法，4其余三位数从余下的四个数中任取三个有 3424A种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有 8（个）.故选 C.3 （ 2009 北京卷理）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 2987A（个） ，当 0 不排在末位时，有 14856A（个） ，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 73（个）.故选 B.4.
12、（2009 全国卷文）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有（A）6 种 （B）12 种 （C）24 种 （D） 30 种答案：C解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修 2 门的种数 24C=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 24=6，故只恰好有 1 门相同的选法有 24 种 。5.（2009 全国卷理）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D )（A）150 种 （B）180
13、种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类 (1) 甲组中选出一名女生有 125365种选法; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 乙组中选出一名女生有 120种选法.故共有 345 种选法.选 D6.(2009 湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A.24B .30C .36D【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 24C，顺序有 3A种，而甲乙被分在同一个班的有 3A种，所以种数是 2340A7.（2009 四川卷文）2 位男生和 3 位
14、女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 623C种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻，只有把男5生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 6212 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12448 种不同排法。解法二；
15、同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 23C种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生 A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 26=24 种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有 26A12 种排法第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。此时共有 2612 种排法三类之和为 2412 1248 种。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. （2009 全国卷理）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。
16、则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种解：用间接法即可. 224430C种. 故选 C9.（2009 辽宁卷理）从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70 种 （B） 80 种 （C） 100 种 （D）140 种 【解析】直接法：一男两女,有 C51C425630 种, 两男一女,有 C52C41104 40 种,共计 70 种间接法：任意选取 C9384 种,其中都是男医生有 C5310 种,都是女医生有 C414 种,于是符合条件的有84
17、10 470 种.【答案】A10.（ 2009 湖北卷文）从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种【答案】C【解析】5 人中选 4 人则有 45C种，周五一人有 14C种，周六两人则有 23C，周日则有 1种，故共有4 1 23=60 种, 故选 C11.（ 2009 湖南卷文）某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企
18、业的可能情况的种数为【 B 】A14 B16 C20 D48解:由间接法得 3216406C，故选 B. 12.（ 2009 全国卷文）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种6【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有 34526151265C，故选择 D。13.（ 2009 陕西卷文）从 1，2，3 ，4，5 ，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数
19、字的四位数，其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 网答案:C. 解析:首先个位数字必须为奇数，从 1，3，5，7 四个中选择一个有 14C种，再丛剩余 3 个奇数中选择一个，从2， 4，6 三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有 1246A个 故选 C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14.(2009 湖南卷理)从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C【解析
20、】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有： 127C4，另一类是甲乙都去的选法有217=7，所以共有 42+7=49，即选 C 项。15.（2009 四川卷理）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 32243AC种，其中男生甲站两端的有 14221AC，符合条件的排法故共有 188解析 2：由题意有 212223334()()18CA,选
21、 B。二、填空题 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16.（ 2009 宁夏海南卷理）7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答） 。解析： 37410C，答案：14017.（ 2009 天津卷理）用数字 0，1，2 ，3，4 ，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。解析：个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有： 90131432CA种；个位、十位和百位上的数字为 1个偶数 2 个奇数的有： 132143
22、2CAC种，所以共有 24个。159414nnnC 2n718.（ 2009 浙江卷理）甲、乙、丙 3人站到共有 7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答） 答案：336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 37A种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有 1237CA种，因此共有不同的站法种数是 336 种w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高考题训练（二）：1（2010 全国卷 2 理数） （6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1
23、，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有 种，故选 B.2（ 2010 全国卷 2 文数） （9）将标号为 1，2，3 ，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种【解析】B：本题考查了排列组合的知
24、识先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 ，余下放入最246C后一个信封，共有 48C3（2010 重庆文数） （10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有来源:Z。xx（A）30 种 （B）36 种（C）42 种 （D）48 种解析：法一：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法即 =42212164543C法二：分两类甲、乙同组，
25、则只能排在 15 日，有 =6 种排法24C甲、乙不同组，有 =36 种排法，故共有 42 种方法1243()A4（ 2010 重庆理数）(9) 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有8A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 种方法412A甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有 种方法)(3142故共有 1008 种不同的排法5（201
26、0 北京理数） （4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（A） （B ） （C） （D） 82989A827A827AC答案：A6（2010 四川理数） （10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C ） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：先选一个偶数字排个位，有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，3 24 个23A若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，共 3 1
27、2 个2算上个位偶数字的排法，共计 3(2412)108 个答案：C7（2010 全国卷 1 理数）(6)某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种8（ 2010 四川文数） （9）由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是（A）36 （B）32 （C ）28 （D）24解析：如果 5 在两端，则 1、2 有三个位置可选，排法为 2 24 种23A如果 5 不在两端，则 1、2 只有两个位置可选，3 12
28、 种2共计 122436 种答案：Aw_w w. k#s5_u.c o*m9（ 2010 全国卷 1 文数）(15) 某学校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 种不同的选法 ;1234C(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 种不同的选法.所以不同的选法共有 +234C12349种.2134830C【解析 2】: 74C
