1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ， .若 ,则 的取值范围是2|1PxMaPa（A） （B ） （C） （D）(,)1,(,)（2）复数 21i（A） （B） （C） （D）i i435i435i（3）在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是2sn（A） （B） （C） （D）(1,
2、)2(1,)(1,0)(1,)（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为s（A） 3（B） 12（C） 3（D） 2开 始0,2is4i是 1is否输出 s结 束数学（理） （北京卷） 第 1 页 （共 5 页）（5）如图， 分别与圆 切于点 ，延长 与圆 交于另一点 。,ADEBCO,DEFAOG给出下列三个结论： ；A ；FG ABD:其中，正确结论的序号是（A） （B） （C） （D） （6）根据统计，一名工人组装第 件某产品所用的时间（单位：分钟）为x（ 为常数） 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第,(),cxAf,c件产品用时 15 分钟， A那么 和 的值分别是c
3、（A） （B） （C） （D）75,275,1660,2560,1（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（A） 8（B） 62（C） 10（D） 82（8）设 ， ， ， （ ） ，记 为平行四边形内(0,)A(4,)B(,4)Ct(,)DtR()Nt部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的()Nt值域为（A） （B） （C） （D）9,109,1029,1210,2ABDCEF正（主）视图 侧（左）视图俯视图443数学（理） （北京卷） 第 2 页 （共 5 页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分
4、，共 30 分。（9）在 中，若 ， ，则 ； ABC,4bBtan2Asina。（10）已知向量 ， ， ，若 与 共线，则 (3,1)a(0,)(,3)ck2abck。（11）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ；n12a4q。12|a（12）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个。（用数字作答）（13）已知函数 过关于 的方程 有两个不同的实根，则实32,()1)xfxx()fk数 的取值范围是 。k（14）曲线 是平面内与两个定点 和 的距离的积等于常数 的点C1(,0)F2(,)2(1)a的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 过坐标原点； 曲线 关
5、于坐标原点对称； 若点 在曲线 上，则 的面积不大于 ；P12P21a其中，所有正确结论的序号是 。数学（理） （北京卷） 第 3 页 （共 5 页）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）已知函数 ，()4cosin()16fxx（I）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值；()fx,4（16） （本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面PABCDABCD是菱形， 。2,60（I）求证： 平面（）若 ，求 与 所成角的余弦值；（）当平面 与平面 垂直时，求 的长；PBCDPA（17） （本小题共
6、 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以 表示。X9 9 0 8 9X1 1 1 0（I）如果 ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；8X（）如果 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总9棵数 的分布列和数学期望；YABCDP甲 组 乙 组注：方差 ，其中 为 的平均数22221()()()nsxxxn 12,nx数学（理） （北京卷） 第 4 页 （共 5 页）（18） （本小题共 13 分）已知函数 。2()xkfxe（）求 的单调区间；（）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围；(0,)x1()fxek（
7、19） （本小题共 14 分）已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点，2:14xGy(,0)m21xylG,AB（）求椭圆 的焦点坐标及离心率；（）将 表示为 的函数，并求 的最大值；|AB|AB（20） （本小题共 13 分）若数列 （ ）满足 ，则称 为12:,nna 21(1,2)kan nA数列，记 。E()nSA（）写出一个满足 ，且 的 数列 ；150a5()0SAE5A（）若 ，证明 数列 是递增数列的充要条件是 ；12,an 201na（）对任意给定的整数 ，是否存在首项为 0 的 数列 ，使得 ，(2)n ()SA如果存在，写出一个满足条件的 数列 ；如果不存在，说
8、明理由。EnA（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学（理） （北京卷） 第 5 页 （共 5 页）绝密使用完毕前2010 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第卷（选择题 共 140 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1 ） 集合 ，则 =203,9PxZMxZPMI(A) 1,2 (B) 0,1,2 (
9、C)x|0x3 (D) x|0x3（2）在等比数列 中， ，公比 .若 ，则 m=na11q12345ma（A）9 （B）10 （C）11 （D） 12（3 ）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4 ） 8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（A） （B ） （C） （D） 9829A827A827AC（5 ）极坐标方程（p-1） （ ）= （p 0）表示的图形是（A）两个圆 （B）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线（6 ） a、 b 为非零向量。 “ ”是“函数 为一次函数
10、”的ab()(fxabx:（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7 ）设不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函数 y= 的图像上存1035xy9 xa在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, (8)如图，正方体 ABCD- 的棱长为 2，动点 E、F 在棱 上，动点1ABCD1ABP，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， E=x，DQ=y ，D（，1大于零） ，则四面体 PE的体积 （）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关第 II
11、 卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 。21i（10）在ABC 中，若 b = 1，c = ， ，则 a = 。32C（11 ）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。由图中数据可知 a 。若要从身高在 120 , 130） ，130 ，140) , 140 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在140 ， 150内的学生中选取的人数应为 。（12 ）如图， 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A。若O:BD A
12、E，AB4, BC2, AD3,则 DE ；CE 。（13 ）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么21xyab2159双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。（14 ） （ 14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 ，则 的最小正周()yf()f期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴()fx所围区域的面积为 。说明：“正方形 PABC 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方
13、形 PABC 可以沿 轴负方向滚动。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15 ） （本小题共 13 分）已知函数 。(x)f2cosin4cosx（）求 的值；3（）求 的最大值和最小值。()f（16 ） （本小题共 14 分）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB= ，CE=EF=1.2（）求证： AF平面 BDE；（）求证： CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。(17)(本小 题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假 设该同学第一门课程取得 优秀成绩的概率为 ，
14、第二、45第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ， ( )，且不同课程是否取得优秀成绩相互pq独立。记 为该生取得优秀成 绩的课程数，其分布列 为 0 1 2 3p6125ad2415()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；()求 ， 的值；q()求数学期望 。E(18)(本小 题共 13 分)已知函数 ( )=In(1+ )- + ( 0)。fxx2k()当 =2 时，求曲线 = ( )在点(1， (1)处的切线方程；kyff()求 ( )的 单调区间。fx（19） （本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线
15、AP 与BP 的斜率之积等于 .13()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（20） （本小题共 13 分）已知集合 对于121|(,),0,2()n nSXxxin， ，定义 A 与 B 的差为12(,)nAa12(,)nBbS12|;BaA 与 B 之间的距离为 1(,)|idAab（）证明： ，且 ;,nnCSBS有 (,)(,)dACBdA（）证明： 三个数中至少有一个是偶数(),d() 设 P ，P 中有 m(m2)个元素，记 P
16、中所有两元素间距离的平均值为 (P).n d证明： （P） .d2(1)m（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密使用完毕前参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1 ） B （2 ） C （3）C （4）A （5 ） C （6）B （7）A （8）D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9 ） （-1,1 ） （10）1（11 ）0.030 3 （12）5 2（13 ） （ ，0） （14 ）4 40xy1三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15 ）（共 13 分）解：（I） 239()2cosincos334
17、f（II） 21)()xxx= 2cs4= ,73(o)3xxR因为 ，cs1,所以，当 时， 取最大值 6；当x()fx时， 取最小值2cos3x()f73（16 ） （共 14 分） 证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1，AG= AC=1.12所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AF/平面 EG，因为 平面 BDE，AF 平面 BDE，E所以 AF/平面 BDE.（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CE AC，所以 CE 平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- .xyz则 C（0，0
18、，0 ） ，A（ ， ，0） ，B（0， ，0）.22所以 ， ， .(,1)F(,1)E(,1)DE所以 ,0BE:0CF:所以 , .CFBED所以 BDE.(III) 由（II）知， 是平面 BDE 的一个法向量.2(,1)设平面 ABE 的法向量 ,则 ， .nxyz0nBA:E即 (,)2,01)xyz:所以 且,y令 则 .1y2z所以 .(0,)n从而 。3cos,2|nCF:因为二面角 为锐角，ABED所以二面角 的大小为 .6（17 ） （共 13 分） 解：事件 表示“该生第 门课程取得优秀成绩” ， =1,2,3，由题意知i i i， ，14()5PA2()p3()PAq
19、（I）由于事件 “该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件 “ ”是对立的，所以0该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是，619(0)25（II）由题意知1236()()()125PApq435整理得 ，6125pqq由 ，可得 ， .（III）由题意知 123123123()()()()aPAPA= 41(1)()(1)55pqpq372()(0)()(3)bPP= 5810()1()2()()EP= 95（18 ） （共 13 分） 解：（I）当 时， ，2k2()ln1)fxx1()2fx由于 ， ，1)lf3所以曲线 在点 处的切线方程为(yfx,()fln21即 3l30xy（
20、II） ， .()1kf(,)x当 时， .0f所以，在区间 上， ；在区间 上， .(,)()0fx(,)()0fx故 得单调递增区间是 ，单调递减区间是 .()fx1,当 时，由 ，得 ，01k()kfx1x2k所以，在区间 和 上， ；在区间 上，(,0,(0f(,)()fx故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .()f (1,)(,)k1(0,)k当 时，1k2()xf故 得单调递增区间是 .()fx(1,)当 时， ，得 ， .1k(1)0xkf1(,0)kx2x所以没在区间 和 上， ；在区间 上，,()f1k()0fx故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是1(,)k(0
21、,)(,0)k（19 ） （共 14 分） （I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 .(,)OB(1,)设点 的坐标为Pxy由题意得 13:化简得 .24(1)xyx故动点 的轨迹方程为P24(1)yx（II）解法一：设点 的坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 , .0,)MN(3)MyN则直线 的方程为 ，直线 的方程为A01(1yxBP01()yx令 得 ， .30431My0231Nyx于是 得面积PN:2002|()|(3)2MNxyxSy又直线 的方程为 ， ，ABx|AB点 到直线 的距离 .P0|2yd于是 的面积:01|PABSxy:当 时，得MN:2002
22、|(3)| 1x又 ，0|xy所以 = ，解得 。2(3)0|1|x05|3x因为 ，所以204y09y故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .PAB:PMNP53(,)9解法二：若存在点 使得 与 的面积相等，设点 的坐标为:0,xy则 .11|sin|sin22MN:因为 ,siAPBN所以 |M所以 00|1|3|xx即 ，解得20()|053因为 ，所以2034xy09y故存在点 S 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为PAB:PMNP.53(,)9（20 ） （共 13 分） 证明：（I）设 ， ，12(,.)nAa12(,.)nBb12(,.)nCcS因为 ， ，所以
23、 , i0ib0i.)i从而 12(|,|,.|)nnBaS又 1(,)|niiidACcb由题意知 ， ， .iaibi0,(,2)in当 时， ;0ic|iiicab当 时，1ic|(1)|ii iiiacbaba所以 1(,)|(,)niidACBdAB(II)设 ， ，12,.na2,.nb12(,.)nCcS， ， .()dk(,)dl()dh记 ，由（I）可知0,.nOS()(,)(,)ABAOBk,dCdCl()(,)h所以 中 1 的个数为 ， 的 1 的|,2.ibank|(,2.)ican个数为 。l设 是使 成立的 的个数，则t|iicihlkt由此可知， 三个数不可能都是奇数，,klh即 , , 三个数中至少有一个是偶数。()dAB)C(d（III） ,其中 表示 中所有两个元素间距离的总和，2,1)ABPm,)ABP设 种所有元素的第 个位置的数字中共有 个 1， 个 0iitimt则 =,(,)ABPd1()niit由于 it()im2(,.)4i所以 ,(,)ABPd2n从而22,1()(,)4(1)ABPmmnCC
