1、等比数列的前 n 项和教学设计上传: 康显平 更新时间：2013-11-29 14:44:44一、教学内容本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学（5）（北师大版）第一章第三节第三课时。从在教材中的地位与作用来看等比数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。二、教学情况从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，方便教学。但本节公式的推导与等差数列前 n 项和
2、公式的推导存在本质不同。另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生易忽视，这样导致在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二的学生，虽然具有一定的分析、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，思维虽活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。三、设计思想新课程改革纲要提出，要培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力。实际上更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。高中生正好处于创新思维的培养期，作为数学教师应因势力导。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在师生互动交流的过程中，体现对学生更多的关心。四、教学目标1、理解并掌
3、握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。2、通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。3、通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。五、教学重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。教学准备：包括资源
4、的收集、课件的制作、活动的准备等1.全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）2.普通高中课程标准实验教科书数学（必修）5 及配套光盘3.两种教材的主要差异对比4.课件等比数列的前 n 项和改编六、教学过程：学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，教学过程设计如下：（一）创设情境，提出问题一天，小林和小明做“贷款” 游戏，他们签订了一份合同。从签订合同之日起，在整整一个月（30 天）中，小明第一天贷给小林 1 万元，第二天贷给小林 2 万元以后每天比前一天多贷给小林 1 万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还
5、1 分前,第二天还 2 分钱,第三天还 4 分以后每天还的钱数是前一天的两倍.合同开始生效了,第一天小林支出 1 分钱,收入 1 万元; 第二天他支出 2 分钱,收入 2 万元;第三天他支出 4 分钱,收入 3 万元到了 第 10 天,他共得到 55 万元,付出的总数只有 10 元 2 角 3 分.到了第 20 天, 小林共得到 210 万元,而小明才得到 1048575 分,共 1 万元多一点.小明想:要是合同订两个月、三个月该多好！果真是这样吗？【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我问：同学们，你们觉得小明的
6、想法怎么样？认同吗？引导学生写出双方得到的钱数：30 天后，小林得到的钱数： 小明得到的钱数： 带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法 ”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的
7、新方法，为后面的教学埋下伏笔。（二）师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问： 是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？【学情预设】：探讨 1：设 ，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）探讨 2： 如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2 则有 ，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减” ，在教师看来这是“天经地义 ”的，但在学生看来却是 “不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生
8、的辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以 2呢？【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。（三）类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列 ，首项为 ，公比为 ，如何求前 n 项和 ？这里，让学生自主完成，并请一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步
9、步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。【学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由 得 对不对？这里的 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？ 时是什么数列？此时 ？（这里引导学生对 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）再次追问：结合等比数列的通项公式 ,如何把 用 、 、 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之
10、妙用。（四）讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道, 那么我们能否利用这个关系而求出 呢？根据等比数列的定义又有 ，能否联想到等比定理从而求出呢？【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 , 这其实就是关于 的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.（五）变式训练,深化认识例 5：（2）求等比数列 前 10 项和；变式 1、等比数列 前多少项的和是 ；变式 2、等比数列 求第 5 项
11、到第 10 项的和；变式 3、等比数列 求前 2n 项中所有偶数项的和。首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。（六）例题讲解，形成技能补充：求和 【设计意图】：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。（七）总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引
12、导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。【设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。（八）故事结束，首尾呼应最后我们回到前面的问题，我们可以计算小林得到的钱数 465 万元，小明得到的钱数 1073.741823 万元。相信小林会吓出一身冷汗。【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。（九）课后作业，分层练习必做：p28 练习 1：(1)、(2) 、（3）（4）；2思考题：求和 【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。七、教学反思：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
