1、 2 数集和确界原理一 区间与邻域1、区间的定义 设 a、b R且 ab.开区间（a, b） 、闭区间 a, b、半开半闭区间 、有限区间的定义。ba,),和几何意义。区间 、 、 、 、 、无限区间的定义。,aa,),(,R),(有限区间和无限区间统称为区间。满足绝对值不等式 的全体实数 x的集合称为x2、邻域的定义 设 。0,Ra点 的 邻域 或 的定义 a);(U(点 a的空心 邻域 或 的定义)a的差别;);(与点 a的 右邻域 或aU)(点 a的 左邻域 或;点 a的空心 左、右邻域 、 等的定义aU邻域 、+ 邻域 、 邻域 。U二 有界集确界原理1、有界集的定义定义 1 设 S为
2、 R中的一个数集。若存在数 M（L） ，使得对一切 都有,Sx则称 S为有上界（下界）的数集，数 M（L）称为 S的一个上界（下界） 。,LxM若数集 S既有上界又有下界，则称 S为有界集。若 S不是有界集，则称 S为无界集。注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。例 1 证明数集 有下界而无上界。为 正 整 数nN分析证 例 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集。2、数集的上确界和下确界的精确定义描述性定义：若数集 S有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集 S的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为
3、该数集的下确界。精确定义定义 2 设 S是 R中的一个数集。若数 满足：（i）对一切 ；的 上 界是即有 Sx,（ii）对任何 数为则 称 数的 最 小 上 界又 是即使 得存 在 ,00 Sx集 S的上确界，记作 .sup定义 3 设 S是 R中的一个数集。若数 满足：（i）对一切 ;,的 下 界是即有 Sx（ii）对任何 为 则 称 数的 最 大 下 界又 是即使 得存 在 ，Sx,00数集 S的下确界，记作 .infS上确界与下确界统称为确界。注：以上确界为例，下确界类似定义设 S是 R中的一个数集。若数 满足：（i）对一切 ；的 上 界是即有 SxS,（ii）对任何 则称数 也00,
4、,xS上上 为数集 S的上确界。例 2 设 。试按上、下界的定义验证：sup S=1,inf 中 的 有 理 数为 区 间 1，xS=0.例 闭区间0，1的上、下确界分别为 1和 0对于数集 的上、下确界分别为,2)(nE 1inf,21supE正整数集 N+有下确界 而没有上确界。,1if注 1 由上（下）确界的定义可见，若数集 S存在上（下）确界，则一定是唯一的。又若数集 S存在上、下确界，则有 inf Ssup S.注 2 从上面一些例子可见，数集 S的确界可能属于 S，也可能不属于 S。例 3 设数集 S有上确界。证明 maxsup分析证 3、确界原理及其应用定理 1.1(确界原理)
5、设 S为非空数集。若 S有上界，则 S必有上确界；若 S有下界，则 S必有下确界。分析证 采用构造性证明方法证明关于上确界的结论注：在本书中确界原理是极限理论的基础。例 4 设 A、B 为非空数集，满足：对一切 上有数 集证 明有和 AyxBAx:.确界，数集 B有下确，且.infsup（2）分析证 例 5 设 A、B 为非空有界数集，S=AB。证明：(i) ;sup,maxsupBS(ii) .infiinf分析证 确界原理的扩充若把+和 补充到实数集中，并规定一实数 a与+、 的大小关系为： a+，a ， +，则确界概念可扩充为：若 S无上界，则定义+为 S的非正常上确界，记作 supS=+；若要无下界，则定义 为 S的非正常下确界，记作 infS=，相应地，前面定义 2和定义 3中所定义的确界分别称为正常上、下确界。推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的） 。例如 正整数 N+有 inf N+=1，sup N +=+数集 的 infS= ，supS=2。RxyS,2复习思考题、作业题：2，4，6，7，8
