1、汕头大学 09-10 学年春季学期高等数学 II期末考试试卷 A 参考答案及评分标准开课单位 数学系 任课老师、评卷人 林小苹 谢长珍 任玉杰 熊成继 一、基本计算题（本大题共有 4 小题，每小题 7 分，共 28 分） 。1、计算对弧长的曲线积分 ，其中 是点 到点 的直线段。2LxyzdsL(1,0)(,36)解：曲线的参数方程为 。 （2 分）1,3,5,tt于是 ，代入得 （2 分）22()35dsdt（2 分）1209)(1Lxyztt（1 分）352、求曲线积分 ，其中 是圆周 逆时针方3223()()LxydxydAL2xy向的一周。解：注意曲线的方向，利用 Green 公式得（
2、4 分）32232()()()L DIxyxyxy其中 为圆 ，再用极坐标计算二重积分得D1。 （3 分）21302Idr注：此题也可象第 1 小题那样用参数方程，代入计算，分值也是2、2、2、1。3、机械部件为空间曲面 ，它的面密度 。求2(),01zxyz(,)xyz这个部件的总质量。解：质量 （2(,)MxydS分）空间曲面 在 平面上的投影 (1 分)21:(),01zzxoy为 ，面积微元2Dxy，代入得 （1 分）221()xydSzdxyd（2 分）222 32011()DMxyxydrd 。 （1 分）4354、设 为柱面 被平面 及 所截得的第一卦限内的部分，前侧21xyz3
3、（ 轴 轴正向）为正，计算对坐标的曲面积分 。xy xdyzxzdy解：除这个柱面外，再加上四个平面： 、 、 、 ，0z0它们围成立体 ，它的体积为 。记它的外表面为 ，外侧为正。 （2 分）34利用 Gauss 公式得。 （2 分） 9xdyzxzdyxdz A注意到上式左边可分成五个面上的积分，四个平面中只有 上积3z分不为零，等于 。 （2 分） 34因此原积分等于 。 （1 分）2二、讨论题(本大题共有 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分)。1、微分 可能恰好是某个二元函数 的全微分2 2(36)(4)xydxyd(,)uxy吗？如果是的话，求一个这样的函数 并使得 。(,u
4、xy(0,)u解：由 知这个微分是全微分。 （3 分）12PQxy于是 。 （3 分）223200 4(,)(,3(64)yxudxdyxy2、无穷级数 是否收敛？如果收敛，它是条件收敛还是绝对收敛？1()sinn解：在 范围内， 是正的增函数。因此原级数是交错级数，并且02xsix递减至零。由 Leibniz 判别法，原级数收敛。 （3 分）1sinu另一方面 ，因为 发散，于是知原级数取绝对1sinnu1n值后得到的级数发散。故原级数条件收敛。 （3 分）3、设 是以 为周期的函数，当 时， 。又设 是()fx2(,x()1fx()Sx的以 为周 期的 Fourier 级数的和函数。试写出
5、 在 上的表达S,式，并说明理由。解：由 Dirichlet 定理，函数的 Fourier 级数在连续点收敛到原函数的值，在第一类间断点处收敛到左右极限和的一半。 （3 分）于是 。 （3 分）,()1xS三、解答下列各题（本大题共有 3 小题, 每小题 8 分, 共 24 分） 。1、设有向量场 ，求它的散度 和旋度 ，并计算这个2Ayixjzk()divA()rot向量场流向圆柱体 的全表面 外侧的通量。2,0RH解： （2 分）()1PQdivxyz（2 分()(12)ijkrotAykxyzPQR）通量 (4 分)2()dyzdxyivAdRH 2、求半径为 ，中心角为 的均匀圆弧（线
6、密度 ）的质心。a21解：设圆弧是圆 上的一段，关于 轴对称。用参数方程表达为2xyx。 （3 分）cos,in,由对称性得质心纵坐标 。 （1 分）0y。 （4 分）21cosin2LLxds axsada3、求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的(,)fyy(1,)(1,2)(,3)方向导数，并说明在该点处沿什么方向的方向导数最大，最大方向导数是多少。解：求偏得: 。 （2 分）(,)1(,)2,(1),(2)6xyxyffxff单位方向向量为 ，得方向导数为 。 （2 分）3, 3梯度为 。 （2 分） (1,2)6gradfij沿方向 时，方向导数得最大值为 。 （2 分）,3737四
7、、在 内把函数 展开成以 为周期的正弦级数。 （本题 10 分）(0,1)()fx2解：将 延拓为周期为 2，区间 上的奇函数， （2 分）fx(1,)显然 ，展开成正弦级数时， 。 （2 分）l 0,)na。 （4 分）11002 2()sin2si(l nnbfxdxdl于是展开式为 , （2 分） 1()inf x(0,)五、将函数 展开成 的幂级数。 （本题 8 分，可利用公式sifx4x）sin()cosin解： (4 分)2si()si()cos()44fxxxx(3 分)2 210 0211()()()()! !nnnn。 （1 分）x六、确定幂级数 的收敛域，并求它的和函数。
8、（本题 8 分）1n解：收敛半径为 ，当 时，成为调和级数，发散；当 时，Rx x得交错级数，易知它收敛。因此收敛域为 。 （2 分1,)）和函数 。 （2 分）1()()nnxsxf。 （2 分）1(0),()nffxx于是 。 （2 分）l,l()fs或：和函数 （2 分）1()nnxs（2 分）10xnd10()xnd0x于是 。 （2 分）()l,l()fs七、设级数 收敛，证明级数 绝对收敛。(本题 4 分)21nu1nu证明：由不等式 得 。 （2 分）2ab2|n由于级数 及 收敛，所以级数 也收敛。由比较判21nu21 21()nku别法，原级数取绝对值后得到的级数收敛，即原级数绝对收敛。 （2 分）
