1、9.3 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1、所要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性(即:当闭区域 D分成许多小闭区域 d时, 所求量 相应地分成许多部分量 U,且 )。2、在 D内任取一个直径充分小的小闭区域 d时, 相应的部分量 可近似地表示为 yxf),(, 其中 yx),(, 称 yxf)(为所求量 的元素, 并记作 dU。(注: f),的选择标准为: f,是 d直径趋于零时较更高阶的无穷小量)3、所求量 可表示成积分形式 UfxyD(,)一、曲面的面积设曲面 S由方程 zfxy(,)给出, xy为曲面 S在 xoy面上的投影区域,函数
2、 fxy(,)在 上具有连续偏导数 f(,)和 f(,),现计算曲面的面积 A。在闭区域 xyD上任取一直径很小的闭区域 d(它的面积也记作 d),在d内取一点 ),(P,对应着曲面 S上一点 ),yxfM,曲面 S在点M处的切平面设为 T。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 z轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 T上截下一小片平面 ,由于d的直径很小 ,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面 S在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为nfxyf,(,)1它与 z轴正向所成夹角 的方向余弦为cos(,)(,)122fxyf而 dAs所以 fxyfd122(,)(
3、,)这就是曲面 S的面积元素, 故 yxffAxyDx),(),(22故 zdxy1【例 1】求球面 za22含在柱面 xya2( 0) 内部的面积。解:所求曲面在 xoy面的投影区域 Dxy(,)|曲面方程应取为 zaxy2, 则x, zxy2122zaxy曲面在 o面上的投影区域 xyD为据曲面的对称性,有 dxyaAxyD22rcos0222cos02draa2)sin(20)si(4da2若曲面的方程为 xgyz(,)或 hzx(,),可分别将曲面投影到yoz面或 面,设所得到的投影区域分别为 Dy或 z,类似地有AyzdDyz12或 xzx2二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心
4、其质点系的重心坐标为xMmxyini1, ymyxini12、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域 D,在点 (,)xy处的面密度为()xy,假定 (,)在 上连续,如何确定该薄片的重心坐标 (,)。这就是力矩元素,于是 MyxdMxydxyDD(,),(,)又平面薄片的总质量 m(,)从而,薄片的重心坐标为 xxydmyxdyDxD (,),(,)特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 xAdydAdDDD11,( )为 闭 区 域 的 面 积十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例
5、2】设薄片所占的闭区域 D为介于两个圆 racos,rbcs(0ab)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。解: 由 D的对称性可知: y0Adrdbaab224cos()而 cos22baDy drxdM 2432coss3 cos)(11 dabrba 2!4)(3co)(332043 db83a故 )(22bAMxy三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有 n个质点, 它们分别位于点(,)(,)xyxyn12处, 质量分别为 mn12, 。设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为ImIxiniyii121,2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有
6、一薄片,占有 xo面上的闭区域 D,在点 ),(yx处的面密度为 ),(yx, 假定 )(yx在 D上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 xI,yI。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例 3】求由抛物线 yx2及直线 y1所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 1的转动惯量。解: 转动惯量元素为 dIyd()12IydD()12xy12()3381112312()()dxxd64560四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域 D,在点 ),(yx处的面密度为)(yx,假定 ),(在 上连续,现计算该薄片对位于 z轴上点10M处的单位质量质点的引力。于是,薄片对质点的引力F在三个坐标轴上的分力 Fxyz,的力元素为3),(rxdykdFx3),(y3)10(,rdyxkdFz 故 DzyDxrdyxkFrk33),(),(
