1、 第 1 页上海版高二上数学矩阵及其运算一初识矩阵（一）引入：引例 1：已知向量 ，如果把 的坐标排成一列，可简记为 ；1,3OPOP13引例 2：2008 年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表：我们可将上表奖牌数简记为： ；512836引例 3：将方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列，可简记为 ；若242xymznzyx, 2341mn将常数项增加进去，则可简记为： 。3142n（二）矩阵的概念1、上述形如 、 、 、 这样的矩形数表叫做矩阵。1352863241mn3124n2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量 称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量 称12,na12nb为列向量；由
2、 个行向量与 个列向量组成的矩阵称为 阶矩阵， 阶矩阵可记做 ，如矩阵mnmnmA为 阶矩阵，可记做 ；矩阵 为 阶矩阵，可记做 。有时矩阵也可用 、13221A52183633等字母表示。B3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个 阶矩阵 中的第 （ ）行第 （ ）列数可用mnmnAijn奖项 国家（地区） 金牌 银牌 铜牌中国 51 21 28美国 36 38 36俄罗斯 23 21 28第 2 页字母 表示，如矩阵 第 3 行第 2 个数为 。ija512836321a4、当一个矩阵中所有元素均为 0 时，我们称这个矩阵为零矩阵。如 为一个 阶零矩阵。0235、当一个矩阵的行数与列数相
3、等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 行（列） ，可称此方阵为n阶方阵，如矩阵 、 均为三阶方阵。在一个 阶方阵中，从左上角到右下角所n5128363241mn有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵 为102 阶单位矩阵，矩阵 为 3 阶单位矩阵。106、如果矩阵 与矩阵 的行数和列数分别相等，那么 与 叫做同阶矩阵；如果矩阵 与矩阵 是同阶矩阵，ABABAB当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵 与矩阵 叫做相等的矩阵，记为 。7、对于方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 ，我们23142xymznzyx, 23
4、41mn叫做方程组的系数矩阵；而矩阵 叫做方程组的增广矩阵。3142n（三） 、应用举例：例 1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：各阶段姓名 第 1 组 第 2 组 第 3 组 第 4 组 总成绩张娟娟 26 27 29 28 110朴成贤 29 26 26 28 109（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示；（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。例 2、已知矩阵 且 ，求 、 的值及矩阵 。22,xybaABabxABabA第 3 页例 3、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1） ； （2）2146xy3205xyz例 4、已知线性
5、方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1） （2）23541023例 5、已知矩阵 为单位矩阵，且 ，求 的值。sinco01,2sin（四） 、课堂练习：1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个 阶方阵（胜用 1 表示，输用 表示，相同则为 0） 。312、奥运会足球比赛中国队所在 C 组小组赛单循环比赛结果如下：中国平新西兰 11 巴西胜比利时 10 中国负比利时 02巴西胜新西兰 50 中国负巴西 03 比利时胜新西兰 01第 4 页（1）试用一个 4 阶方阵表示这 4 个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）（2）若胜一场可得 3 分，平一场得 1
6、分，负一场得 0 分，试写出一个 4 阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1） 、 （2）两个矩阵确定各队名次。二、矩阵的三种基本变换（一） 、复习引入：引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1） （2） （3）23321132（4） （5） （6）1320610831083（二） 、矩阵的三种基本变换新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非
7、零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。（三） 、应用举例：例 1、已知每公斤五角硬币价值 132 元，每公斤一元硬币价值 165 元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462 个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题” ）第 5 页例 2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组 的解。4357248xyz例 3、运用矩阵变换方法解方程组： （ 、 为常数）32axyba说明：（1）符合情况）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；（2）符合情况）
8、时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。（四） 、课堂练习：第 6 页用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组 的解 与 相等，求 的值。2(1)()4xykyxyk（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为 克，每只黑球和白球的质量各是多少克？5（3）解方程组：3205781xyz三、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨
9、论的主要内容.）1相等定义 如果两个矩阵 ， 满足：nmijaApsijbB(1) 行、列数相同，即 ；s,(2) 对应元素相等，即 aij = bij ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个 m n 矩阵相等，等价于元素之间的 m n 个等式.）例如，矩阵A = ， B = 23211a41250那么 A = B，当且仅当a11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4第一次称量 第二次称量第 7 页而C = 21c因为 B,
10、C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵 C 中的元素 c11, c12, c21, c22 取什么数都不会与矩阵 B 相等.2加法定义 2.3 设 ， 是两个 m n 矩阵，则称矩阵nmijaApsijbBC = mnmmnbaba 21 22 1121为 A 与 B 的和，记作C = A + B = ijij（由定义 2.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) = ijijba称 D 为 A 与 B 的差.例 1 设矩阵 A = ， B = ，求 A + B，A - B.15240313042例
11、2、矩阵 ， ， ，若 ，cos0tan1A0tantanB2017CABC， ，求 的值。(0,)(,)2si2矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设 A, B, C, O 都是 m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 第 8 页4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘定义 2.4 设矩阵 ， 为任意实数，则称矩阵 为数 与矩阵 A 的数乘，其中nmijanmijcC，记为),21
12、;,21(jiacjij C = A（由定义 2.4 可知，数 乘一个矩阵 A，需要用数 去乘矩阵 A 的每一个元素.特别地，当 = -1 时， A = -A，得到 A 的负矩阵.）例 3 设矩阵 A = ，用 2 去乘矩阵 A，求 2A.06254713数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数 k , l 和矩阵 A = ，B = 满足以下运算规则：nmijanmijb1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4
13、. 数 1 与矩阵满足： 1A = A. 例 4 设矩阵 A = ，B = ，求 3A - 2B.6052371284例 5给出二元一次方程组 存在唯一解的条件。1122axbyc第 9 页4乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台） ，用 B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：I II 单价 利润A = B = 9182502.15803用矩阵 C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么 C 中的元素分别为23ijc， 即C = = 321c 2.198.
14、0159.82.0= .50842其中，矩阵 C 中的第 行第 j 列的元素是矩阵 A 第 行元素与矩阵 B 第 j 列对应元素的乘积之和.矩阵乘积的定义 设 A= 是一个 m s 矩阵，B= 是一个 s n 矩阵，则称 m n 矩阵 C = 为矩阵ijaijb ijcA 与 B 的乘积，记作 C = AB.其中 cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ).（由矩阵乘积的定义可知：）(1) 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时， A, B 才能作乘法运算 AB；(2) 两个矩阵的乘积 A
15、B 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数；(3) 乘积矩阵 AB 中的第 行第 j 列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例 6 设矩阵 A = ， B = ，计算 AB.53041210789甲乙丙III总收 入总利润第 10 页例 7 设矩阵 A = ，B = ， 求 AB 和 BA.21412由例 6、例 7 可知，当乘积矩阵 AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵 AB 和 BA 有意义时，AB和 BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，
16、不能随意改变.在例 6 中矩阵 A 和 B 都是非零矩阵（A O, B O ）,但是矩阵 A 和 B 的乘积矩阵 AB 是一个零矩阵（AB = O） ，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 .因此，当 AB = O，不能得出 A 和 B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵 AB = AC，且 A O 时，不能消去矩阵 A，而得到 B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC ） ； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + C
17、A ； 3. 数乘结合律：k（AB ）= （k A ）B = A（k B） ，其中 k 是一个常数.例 8：已知 ，矩阵 ，求 。0112解： ，这可以看作向量 经过矩阵变换为向量 。变换后的向量与原向量关于直线 对称。2AB 21 yx练习：已知 ，矩阵 ， （1）求 ；（2）说明矩阵 对向量 产生了怎样的变换。10uBvABAB练习：计算下列矩阵的乘法（1） ；（2） 。 112()nbaa 122()nnab第 11 页例 9、已知矩阵 ， ， ，若 A=BC，求函数 在1,2 上的最小值.)(xfAxB1a2C)x(f例 10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式（1） ；（2） 。14
18、37xy3142xyz例 11：若 ，矩阵 就称为与 可变换，设 ，求所有与 可交换的矩阵 。ABA10AB例 12、 ,求 102A),32(kA第 12 页练习:设 ，求 、 ，猜测 并证明。10A23A*()nN5转置矩阵转置的定义 把将一个 m n 矩阵A = mnmnaa 212112的行和列按顺序互换得到的 n m 矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 ，即 A= mnnaa212121由定义 2.6 可知，转置矩阵 的第 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 j 行第 列的元素，简记为A的（ ，j）元 = A 的（j ， ）元矩阵的转置满足下列运算规则：1. = A；)(2. = +
19、 ；B3. = k , ( k 为实数)；)(4. = .A高二数学讲义第十八讲（130812）课后作业（本试卷共 19 题，时间 45 分钟，满分 100 分）班级： 姓名： 一、选择题(每小题 4 分,共 15 个小题,共 60 分)第 13 页1、 “两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组 其中正确的是（ ）1y2x3A、 B、1213yx 3C、 D、2 122yx3、若 ，且 ，则矩阵 _.14030453AB， 3AXBX4、点 A（1，2）在矩阵 对
20、应的变换作用下得到的点的坐标是 _1025、已知 是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么 a+b= .ba06、若点 A 在矩阵 对应的变换作用下得到的点为（ 1，0） ，那么 = .)2,( cossini7、若点 A 在矩阵 对应的变换作用下下得到的点为（2，4） ，那么点 A 的坐标为 .18、已知 ， 若 A=B，那么 += .1sincosinco12B9、设 A 为二阶矩阵，其元素满足， i=1，2，j=1，2，且 ，那么矩阵 A= .0ajiij 2a1210： ， ，且 ，那么 A+AB= 。 46xy3uBvA11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为 1 行
21、 3 列的矩阵 ，那么该线性方程组为 (1,2)。12、计算:若矩阵 ，则 _.cos60in2i 31AB， AB第 14 页13、计算： = .3421560114. 线性方程组 对应的系数矩阵是_，增广矩阵是_.354xy15、 已知矩阵 ，则 _.2301(,2)123ABC， ， ()ABC二、简答题1. 已知 ，分别计算 ，猜测 ；10A23A、 *(2)nN，2. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: ；32105xy .16203xyz3. 若 ，则 _.202137xyxy第 15 页4、已知矩阵 ， ， ，若 A=BC，求函数 在 上的最)(xfAxxBs
22、in2cosinxCsinco)x(f3,0小值.老师讲义2013 年暑期高二数学讲义第十八讲（130812）矩阵及其运算一初识矩阵第 16 页（一）引入：引例 1：已知向量 ，如果把 的坐标排成一列，可简记为 ；1,3OPOP13引例 2：2008 年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表：我们可将上表奖牌数简记为： ；512836引例 3：将方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列，可简记为 ；若242xymznzyx, 2341mn将常数项增加进去，则可简记为： 。3142n（二）矩阵的概念1、上述形如 、 、 、 这样的矩形数表叫做矩阵。1352863241mn3124n2、在矩阵中，水平方
23、向排列的数组成的向量 称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量 称12,na12nb为列向量；由 个行向量与 个列向量组成的矩阵称为 阶矩阵， 阶矩阵可记做 ，如矩阵mnmnmA为 阶矩阵，可记做 ；矩阵 为 阶矩阵，可记做 。有时矩阵也可用 、13221A52183633等字母表示。B3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个 阶矩阵 中的第 （ ）行第 （ ）列数可用mnmnAijn字母 表示，如矩阵 第 3 行第 2 个数为 。ija512836321a奖项 国家（地区） 金牌 银牌 铜牌中国 51 21 28美国 36 38 36俄罗斯 23 21 28第 17 页4、当一个矩阵中所有元
24、素均为 0 时，我们称这个矩阵为零矩阵。如 为一个 阶零矩阵。0235、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 行（列） ，可称此方阵为n阶方阵，如矩阵 、 均为三阶方阵。在一个 阶方阵中，从左上角到右下角所n5128363241mn有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵 为102 阶单位矩阵，矩阵 为 3 阶单位矩阵。106、如果矩阵 与矩阵 的行数和列数分别相等，那么 与 叫做同阶矩阵；如果矩阵 与矩阵 是同阶矩阵，ABABAB当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵 与矩阵 叫做相等的矩阵，记为 。7、
25、对于方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 ，我们23142xymznzyx, 2341mn叫做方程组的系数矩阵；而矩阵 叫做方程组的增广矩阵。3142n（三） 、应用举例：例 1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：各阶段姓名 第 1 组 第 2 组 第 3 组 第 4 组 总成绩张娟娟 26 27 29 28 110朴成贤 29 26 26 28 109（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示；（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。解：（1） 6279810（2）有两个行向量，分别为： ，126792810a，它们分别表示
26、两位运动员在决赛各阶段各自成绩；有五个列向量，分别为 123456729810,969bbb它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。第 18 页例 2、已知矩阵 且 ，求 、 的值及矩阵 。22,xybaABabxABabA解：由题意知： 解得： ，又由 解得： ，2yx4y214xaby2641A例 3、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1） ； （2）246xy3205xyz解：（1） ； （2）31132例 4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1） （2）23541032解：（1） （2）2xy 13xyz例 5、已知矩阵 为单位矩阵，且 ，求 的值。sinco01,2s
27、in解：由单位矩阵定义可知： ， ，sicno0,234。2sinsi4（四） 、课堂练习：1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个 阶方阵（胜用 1 表示，输用 表示，相同则为 0） 。31解：012、奥运会足球比赛中国队所在 C 组小组赛单循环比赛结果如下：第 19 页中国平新西兰 11 巴西胜比利时 10 中国负比利时 02巴西胜新西兰 50 中国负巴西 03 比利时胜新西兰 01（1）试用一个 4 阶方阵表示这 4 个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）（2）若胜一场可得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，试写出一个 4 阶方阵表示各队的得
28、分情况；（排列顺序与（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1） 、 （2）两个矩阵确定各队名次。解：（1） （2） （3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。030152013二、矩阵的三种基本变换（一） 、复习引入：引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1） （2） （3）23321132（4） （5） （6）2130608131083解：这些方程组为 ； ； ；23xy32xy23xy； ； 。1236xy8136xxy这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。（二）
29、 、矩阵的三种基本变换新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。（三） 、应用举例：第 20 页例 1、已知每公斤五角硬币价值 132 元，每公斤一元硬币价值 165 元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462 个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题” ）解：设一元硬币有 个，五角硬币有 个，则根据题意可得：xy4620.
30、513xy则该方程组的增广矩阵为 ，设、分别表示矩阵 的第 1、2 行，对矩阵 进行14625AAA下列变换：14625146258463120514620310352由最后一个矩阵可知： 52xy答：一元硬币有 110 个，五角硬币有 352 个。例 2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组 的解。4357248xyz解：此方程对应的增广矩阵为：1523设此矩阵第 1、2、3 行分别为、，对此矩阵进行下列变换：4745810974261509724330162615 3不变 加到 15不变 43不变 加到(1)不变加到 加到不变 加到() 加到5不变 14、不变第 21 页32104652321
31、04670143， 此方程组的解为310476014327436xyz说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量；2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据数字的特点，运用适当的程序进行化简运算。例 3、运用矩阵变换方法解方程组： （ 、 为常数）32axyba解：此方程组对应的增广矩阵为： ，设、分别表示此矩阵的第 1、2 行，21对此矩阵进行下列变换： 3ab6032ab）当 ，即 时，以上矩阵可作如下变换：60a6231ab1064ab， 此时方程有唯一解 ；231064ab2364xaby）当 即 时，若 即 时，方程组无解；60a23023）
32、当 即 时且 时，方程组有无穷多解，它们均符合 。b6320xy说明：（1）符合情况）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；（2）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。（四） 、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题： 2()43、不变 加到6 加到13()不变交换、不变 加到3不变 不变 加到(2)不变 ()不变第 22 页（1）若方程组 的解 与 相等，求 的值。2(1)()4xykyxyk解： 21240603k 103k 解得 ，由题意知： 求得： 。13xky13（2）有黑白两种
33、小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为 克，每只黑球和白球的质量各是多少克？5解：设黑球和白球的质量各为 、 千克，则由题意知：xy25310xy通过矩阵变换 125125330 1 解得：黑球每个 3 千克，白球每个 1 千克。（3）解方程组： 2578xyz解：2101501312255 66 3031021051 即方程组的解为 。01 2xyz三、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.）1相等定
34、义 如果两个矩阵 ， 满足：nmijaApsijbB第一次称量 第二次称量第 23 页(1) 行、列数相同，即 ；pnsm,(2) 对应元素相等，即 aij = bij ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个 m n 矩阵相等，等价于元素之间的 m n 个等式.）例如，矩阵A = ， B = 23211a41250那么 A = B，当且仅当a11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = 21c因为 B, C 这两个矩阵的
35、列数不同，所以无论矩阵 C 中的元素 c11, c12, c21, c22 取什么数都不会与矩阵 B 相等.2加法定义 2.3 设 ， 是两个 m n 矩阵，则称矩阵nmijaApsijbBC = mnmmnbaba 21 22 1121为 A 与 B 的和，记作C = A + B = ijij（由定义 2.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) = ijijba称 D 为 A 与 B 的差.例 1 设矩阵 A = ， B = ，求 A + B，A - B.15240313042解 ： A + B
36、= += =1)3(5024)(3 023A - B = -142第 24 页= =1)3(5024)(3 2835例 2、矩阵 ， ， ，若 ，costan1A0tantanB017CABC， ，求 的值。(0,)(,)2si2解：由 A+B=C 知： 710tan1tant0coscos cos = 02tan + tan=-1;1-tan tan=7，知71tan1t)tan( Zk),2(由于 ， 知：0,2(,)3,从而 ,有)2,4(; ,10)sin(107)cos(2072)s(2si 矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设 A, B, C, O 都是 m n 矩阵，不难验证矩阵的
37、加法满足以下运算规则1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘定义 2.4 设矩阵 ， 为任意实数，则称矩阵 为数 与矩阵 A 的数乘，其中nmijanmijcC，记为),21;,21(jiacjij 第 25 页C = A（由定义 2.4 可知，数 乘一个矩阵 A，需要用数 去乘矩阵 A 的每一个元素.特别地，当 = -1 时， A = -A，得到 A 的负矩阵.）例 3 设矩阵A =
38、06254713那么，用 2 去乘矩阵 A，可以得到2 A = =0265)4(7)1(301248数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数 k , l 和矩阵 A = ，B = 满足以下运算规则：nmijanmijb1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数 1 与矩阵满足： 1A = A. 例 4 设矩阵 A = ，B = ，求 3A - 2B.61052371284解 先做矩阵的数乘运算 3A 和 2
39、B，然后求矩阵 3A 与 2B 的差.3A = = 6105)(185692B = = 72)(8)3(443A - 2B = - = 180569510例 5给出二元一次方程组 存在唯一解的条件。122axbyc解：原方程组可以表示成 ，其中 是三个列向量，由平面分解定理可知，1122abc1122abc、 、第 26 页当向量 不平行时，向量 可表示成向量 的线性组合，且系数 唯一，那么对应的12ab、 12c12ab、 xy、方程组有存在唯一解，即 。 121ab4乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台
40、） ，用 B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：I II 单价 利润A = B = 9182502.15803用矩阵 C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么 C 中的元素分别为23ijc， 即C = = 321c 2.198.0159.82.0= .50842其中，矩阵 C 中的第 行第 j 列的元素是矩阵 A 第 行元素与矩阵 B 第 j 列对应元素的乘积之和.矩阵乘积的定义 设 A= 是一个 m s 矩阵，B= 是一个 s n 矩阵，则称 m n 矩阵 C = 为矩阵ijaijb ijcA 与 B 的乘积，记作 C = AB.其中
41、cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ).（由矩阵乘积的定义可知：）(1) 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时， A, B 才能作乘法运算 AB；(2) 两个矩阵的乘积 AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数；(3) 乘积矩阵 AB 中的第 行第 j 列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.甲乙丙III总收 入总利润第 27 页例 6 设矩阵 A = ， B = ，计算 AB.53041210789解 AB = 107
