1、 1 / 25数学：一、 函数、方程、不等式1、 二次函数与二次方程及二次不等式（一） 形式：一般式 顶点式 2yaxbc2()yaxhk两点式 12()x（二） 定义域: ),(x（三） 值域当 时，0a),4(2abcy当 时，,（四） 单调性 2yaxbc其中2yaxhk242bacbhk、的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 时， 随 的增大而增大；abx2yx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 abx2y00a向下 abc4,22ax时， 随 的增大而减小；x时， 随 的增大而增大；abx2y时， 有最大值 0的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk、X
2、=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k向下 、X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 2 / 25（五） 奇偶性不是奇函数，当 b=0 时，函数图像关于 y 轴对称，是偶函数（六） 最值在顶点处有最值，a0 时为 最小值，a0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kaxnxann1，且 n*N 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，ann)(|aan2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm ,1*n 0 的正分数指
3、数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ra sr；),(R（2）rsr；,0（3）srab)(),0(Rsr（二） 指数函数及其性质（1） 形式： )1,(ayx且（2） 定义域与值域,0yRx（3） 单调性当 a1 时，单调递增当 01 01 时递增当 01 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 x0 定义域 x06 / 25值域为 R 值域为 R在 R 上递增 在 R 上递减函数图象都过定点（1，0
4、）函数图象都过定点（1，0）（5） 平移 mnxay)(log4、 幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中xy)(Ra为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0 ，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函 ),0数特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图1象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点0),0(x时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴yyxx正半轴5、 三角函数（一） 定义（在以原点为圆心，单位 1 长度为半
5、径的圆里面定义）（1）已知角 的终边经过点 P(5，12) ，则 的值为。cosin（答 ： ） ；713（2） 是第三四象限角， ，则 的取值范围是_ m432sin（答 ：（1， ） ；)23（二） 三角函数线y T A x BSOMP 7 / 25（1）若 ，则 的大小关系为_08sin,cota(答 ： )；tai（2）若 为锐角，则 的大小关系为_ ,sta（答 ： ）sin（3）函数 的定义域是_)3sin2lg(co1xy（答 ： ）(2,3kkZ（三） 同角的三角函数的基本关系做题时一定要考虑 x 的取值范围1cossin22xxcosinta（1）已知 ， ，则 _53im)
6、2(54mtan（答 ： ）12（2）已知 ，则 _； _tancosin32cosinsi2（答 ： ； ） ；351（3）已知 ，则 的值为_xfcos)()30(sinf（答 ：1） 。（四） 诱导公式sin（ + ） = sin sin（ ） = sincos（ + ） = cos cos（ ） =costan（ + ） =tan tan（ ） = tansin（ ） =sin sin（ /2+ ） =cos cos（ ） = cos cos（ /2+ ） =sin tan（ ） = tan tan（ /2+ ） = cotsin（ /2 ） =cos sin（ 3/2+） = cos
7、cos（ /2 ） =sin cos（ 3/2+） =sintan（ /2 ） =cot tan（ 3/2+） = cot8 / 25sin（ 3 /2 ） = cos cos（ 3 /2 ） = sin tan（ 3 /2 ） =cot（1） 的值为_97ta()i2146（答 ： ） ；23（2）已知 ，则 _，若 为第二象限角，则54)50sin( )270cos(_。)18ta(36coi2（答 ： ； ）540（五） 两角的正弦，余弦，正切公式及倍角公式两个角的关系正弦：sin(+)=sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin.余弦：cos(+)=cosc
8、os-sinsin cos(-)=coscos+sinsin正切：tan(+)= tan(-)= ,tan1t.tan1t倍角关系sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin22tan1ta万能公式 2tan1si2tan1cos2tan1ta（1）下列各式中，值为 的是 9 / 25A、 B、 15sinco221cosinC、 D、 2ta. 30（答 ：C ） ；（2）命题 P： ，命题 Q： ，则 P 是 Q 的 0tan(AB)0tanABA、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 （答 ：C ） ；（3）已
9、知 ，那么 的值为_35sin()cos()sin2cos（答 ： ） ；725（4） 的值是_1308sini（答 ：4） ；(5)已知 ，求 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是0ta10tan5 31a，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_2（答 ：甲、乙都对）（六） 正弦函数，余弦函数（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _，sin(3)6yabx2321ab（答 ： 或 ） ；,12（2）函数 （ ）的值域是_xxfcos3sin)(2,（答 ：1, 2） ；（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是_ 、_6ycsin（答 ：7；5 ） ；10 / 25（4）函
10、数 的最小值是_，此时2()2cosin()3sinfxxxicosx_x（答 ：2； ） ；()1kZ（5）己知 ，求 的变化范围2cosincosint（答 ： ） ；10,（6）若 ，求 的最大、最小值cos2sini222siniy（答 ： ， ） 。1maxyi（A）周期性： (1)若 ，则 _3sin)(xf(1)2(3)(203)fff（答 ：0） ；(2) 函数 的最小正周期为_4()cosfxicosx4inx（答 ： ） ；(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则)52si()(xxf Rx)()(21xfxf的最小值为_|21x（答 ：2）（B）奇偶性与对称性：（1）函
11、数 的奇偶性是_52ysinx（答 ：偶函数） ；（2）已知函数 为常数） ，且 ，则 _31f(x)absinx(a,b57f()5f()（答 ：5） ；（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是_、 )cos(ics2y11 / 25（答 ： 、 ） ；128k(,)(Z28kx(Z)（4）已知 为偶函数，求 的值。3fxsincos（答 ： ）6k(Z)（C）单调性： 形如 的函数：sin()yAx， 的图象如图所()sin()0,fxAx|2示，则 _（答 ： ） ；15()2si()3f（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？in()4yx sinyx（答 ： 向上平移 1
12、 个单位得 的图象，再向左平移2si() 2i()4个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后将纵坐标缩8inyx sinyx小到原来的 即得 的图象） ；12si(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向_平移_个单位co()24xysin2xy（答 ：左； ） ；（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称，这72sin()13yxa样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量a（答 ：存在但不唯一，模最小的向量 ） ；(,1)6（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同的交点，cosin0,2fxxyk则 的取值范围是k（答 ：
13、）1,2)23题 图29YX-22312 / 25（5）研究函数 性质的方法：sin()yAx1）函数 的递减区间是_23i（答 ： ） ；51k,(kZ)2） 的递减区间是_1234xylogcs()（答 ： ） ；6k,(kZ)3）设函数 的图象关于直线 对称，它的周期是 ，)2,0)sin() Axf 32x则A、 B、 在区间 上是减函数 )21,0()(的 图 象 过 点xf ()fx5,1C、 D、 的最大值是 A)0,5(是的 图 象 的 一 个 对 称 中 心f f（答 ：C ） ；4）对于函数 给出下列结论：2sin3fxx图象关于原点成中心对称； 图象关于直线 成轴对称；图
14、象可由函数12x的图像向左平移 个单位得到； 图像向左平移 个单位，即得到函数2sinyx3的图像。其中正确结论是_co（答 ：） ；5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间的距离为 ，()2sin()fx1y3那么此函数的周期是_（答 ： ）的周期都是 , 但 的周期为 ，而xysin,i2sinyxco213 / 25， 的周期不变；1|2sin(3)|,2sin(3)2|66yxyx|tan|yx（七） 三角函数与三角形正弦定理，余弦定理在ABC 中，正弦定理： cbaCsinBiAsin余弦定理： os22acabc2Ccos中，若 ，判断 的形状ABCBA222insios
15、inAB（答 ：直角三角形） 。（1） 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 ab、=60 4,a,b ABCA、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答 ：C ） ；（2）在 中，AB 是 成立的_ 条件siniB（答 ：充要） ；（3）在 中， ，则 _12(ta)(t)2logsinC（答 ： ）2(4)在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若ABCa,bc(abc)(sinAB，则 _3sin)si（答 ： ） ；60（5）在 中，若其面积 ，则 =_ABC2243abcSC（答 ： ） ；30（6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是_6
16、1,b 3ABC14 / 25（答 ： ） ；239(7)在ABC 中， a、b、c 是角 A、B、C 的对边， = ，213,cos,csBCaA则的最大值为 2（答 ： ） ；193;（8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是 （答 ： ） ；06C（9）设 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若 ，且 的面积满足关系式75,AOBCA，求3ABCOASS（答 ： ） 456、 其他特殊函数7、 函数的综合应用15 / 25二、 立体几何1、 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理 2 如果两个平面有一个公共点
17、，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.2、 空间线面的位置关系及判定（一） 、直线与直线（1）共面：（平行 无公共点；相交有且只有一个公共点）判定：定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若 a,a ，=b,则 ab.平行于同一直线的两直线平行，即若 ab,b
18、c,则 ac.垂直于同一平面的两直线平行，即若 a，b，则 ab两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若 ,=b,则ab如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若=b,a,a，则 ab.（2）异面：既不平行，也不相交判定：证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”（3）垂直判定：定义：若两直线成 90角，则这两直线互相垂直.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若 bc,ab,则 ac一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a,b ，
19、ab.16 / 25三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若 a,b,则ab.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若 ,，,且=a,=b,=c，则 ab，bc，ca（二） 、直线与平面（1）直线在平面内直线的任意两点在平面内（2）直线与平面平行定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a ,b ，ab,则 a.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若 ,l ，则
20、l.如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若,l，l ，则 l.在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若 A ，B ，A、B 在 同侧，且 A、B 到 等距，则 AB.两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若,a ，a ，a，则 .如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若 a,b，ba，则 b.如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若 ab,a,b(或 b )（3）直线与平面垂直定义：若一条
21、直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m ，n ，mn=B,lm,ln,则 l.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若 la,a,则 l.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若 ,l，则l.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若,a=，l ，la,则 l.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若 ,且 a=, 则 a.17 / 25（三）平面与平面（1）平面与平
22、面平行判定：定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点 .如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b ，ab=P,a,b,则 .垂直于同一直线的两平面平行.即若 a,a,则 .平行于同一平面的两平面平行.即若 ,则 .一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若 a,b,c,d ,ab=P,ac,bd,则 .（2）平面与平面垂直判定：定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a=90 .如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若 l,l ，则.一
23、个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若 ，则 .3、 射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（iii）垂线段比任何一条斜线段都短.4、 空间
24、中的各种角 （一） 异面直线所成的角求法：（1）转化为共面直线再求18 / 25（2）建立空间直角坐标系（二） 直线与平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：(i) 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 0的角.(2)取值范围 090(3)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角 .解含 的三角形，求出其大小.建立空间直角坐标系（三） 二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
25、(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角 的取值范围是0180(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，PCD 是二面角 -AB- 的平面角.平面角PCD 的大小与顶点 C 在棱 AB 上的位置无关.二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即 AB平面 PCD.(ii)从
26、二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面 PCD，平面 PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法()根据特殊图形的性质19 / 25(4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角 ，再通过解三角形求得 的值.利用面积射影定理S=Scos其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积， 为二面角的大小.利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.建立空间直角坐标系5、
27、空间的各种距离（一） 点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积 V和所取三点构成三角形的面积 S；由 V= Sh，求出 h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线31即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平
28、面的距离转化为(平行) 直线与平面的距离来求.（二） 直线到平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离（三） 异面直线的距离(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线20 / 25在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距
29、离常用的方法定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法（四） 平行平面的距离(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面) 距离
30、，通过解三角形或体积法求解之.三、 解析几何（直线与圆）（一） 求圆的方程（1） 已知三点求圆（2） 待定系数法求圆（3） 已知圆心所在的方程与点求圆（4） 轨迹求圆例 1、 点（0,2）是圆 x + y =16 内的定点，点 B、C 是这个圆上的两个动点，若 BA 2CA，求线段 BC 中点 M 的轨迹方程。21 / 25例 2、 求与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且被直线 yx 截得的弦长为 的72圆的方程。例 3、已知圆 C 的圆心在直线 ：xy 10 上，且与直线 ：4x+3y+14=0 相切，又l 2l圆 C 截直线 ： 3x4y10 0 所得的弦长为 6，求圆 C 的方程
31、。l（二） 弦长1、 点差法2、 垂径定理法例 1、已知直线 : 与圆 : .l052yxC36)1()7(22yx(1)判断直线 圆的位置关系;(2)求直线 被圆 所截得的弦长.l例 2、已知圆 C: ,直线:mx-y+1-m=05122yx(1)求证：对 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；（2 ）设 l 与圆 C 交于 A，B 两点。若 AB 的绝对值= 根号 17。求 l 的倾斜角大小；（3 ）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。（三） 求切线（1） 点在圆上（2） 点在圆外（3） 斜率为 k（四） 求最值（1） 直线系与圆求弦的最值（2） 几何意义1） 斜率2） 截距3）
32、方程求交点22 / 25例 1、已知 M（x，y）是圆 C： 上任意一点1)2()4(2yx求：1、y/x 的取值范围2、y-x 的取值范围例 2、已知圆 C： ，直线 ：(2m+1)x+(m+1)y7m4025)()1(2yxl(m R).(1)证明：对 m R，直线 与圆 C 恒相交于两点；（2）求直线 被圆 Cl l截得的线段的最短长度，并求此时 m 的值。例 3、已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线 L 过定点 A(1,0)1.若 L 与圆相切，求 L 的方程2.若 L 与圆相交于 P.Q 两点， ，求三角形 CPQ 的面积的最大值，并求此时 L 的方程（五） 交点弦四、
33、概率统计（一） 随机事件的概率（1） 随机事件 A 发生的可能性大小的度量（数值） ，称为事件 A 发生的概率，记作 ()P（2） 从频率的性质看概率的性质记一个事件 A 在 次重复试验中，发生的次数 ，则其发生的频率 为 n()nrA()nfA()nnrf（二） 古典概型()AAP中 元 素 个 数 使 发 生 的 基 本 事 件 数中 元 素 个 数 基 本 事 件 总 数有关公式与法则复习：23 / 251排列 从 个不同元素中任取 个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，所有排列种数记nm为 ，则mnP，0,!(),mnn规定 ，0!1!(1)2(1)()nmn2可重复排列 从 个不同元
34、素中，每次取出一个元素，观察后放回去，第二次再从中取出一个元素，观察后再放回去如此重复 次，将 次观察到的元素按照一定顺序排成一列，其中排列种数记为 ，则Nmn3组合 从 个不同元素中，取出 个不同的元素，不考虑顺序组成一组，其组合总数记为m，则mnC，!(1)2(1)()!()!nPnnmn当 时， 0mn基 本 内 容备注4组合性质（1） ；mnC（2） ；1mnn24 / 25（3） ；0rkrrnnmC（4） 02mn5加法法则 设一件工作可以由 条不同途径中之任何一条途径均可以完成，而第 条途径有i种不同方案，则完成该件工作的所有不同方案总数为 (1,2)in 12mn6乘法法则 设
35、一件工作需要经过前后 个步骤才能完成而第 个步骤中有 种mi(,)i不同方案，则完成该件工作的所有不同方案总数为 12mn1将一枚硬币抛掷三次设：（1 ）事件 A1 为“恰有一次出现正面 ”， （2）事件 A2 为“至少有一次出现正面” ，求 P (A1 )，P (A2 )分析：样本空间为：，故 ，,HTHTT 1)3/8基本事件总数也可用 计算22()1()/87PA32假设每个人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的，求 个人中，至少有两个人(65)n生日相同的概率为多少？分析：他们生日各不相同的概率为 ， 个人中至少有两人生3654(31)65nnP日相同的概率为 经计算可得结果：
36、3654(1)1np20 23 30 40 50 64 100n0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997p“在一个有 64 人的班级里，至少有两人生日相同” 的概率为 99.7%（三） 几何概型一般地，设某个区域 (线段，平面区域，空间区域） ，具有测度 (长度，面积，体积)如果随机m实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为几何概型例（概全学 P.16）在区间 随机地取两个数，则事件“两个数之和小于 的概率为 0.68 (0,1) 6525 / 25分析：题中有“随机地”、 “任意地” 字样时都可认为是等可能的，为几何概型问题此题是在区间内随机地取两个数设 ， 分别为随机地取自 区间中的两个数，则试验的样本(0,1) xy(0,1)空间为 ， ，而所求的事件为 ，(,)|01,xyA6(,)|,5A且.10.8.17() 025P的 面 积的 面 积物理：A1 x
