1、-3- 3-1第三章 行列式习题 3.13-1-6.用定义计 算行列式（1） 2,10,022114 idcbadcbaDii解：设 则 中第 1 行的非 0 元为 ，故44ij 131,ba,3j同法可求： 234,;,;,j 可组成四个 4 元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，431,jj故 中相应的非 0 项有 4 项，分 别为 ， ，4Ddbca,cdab21c其代数和即为 的值，整理后得 4121214D(2)1.020.nD解：由行列式的定义 121212()nnnjjjj a 仅当 分别取 2，3,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为
2、零12,njj 112 1() (231)23)()!n nj nnjjDaa 习题 3.2-3- 3-23.2-2.证明(1) 0sinco2si22证明:222222213coinicossinscsioini左 0(2) 322)(1baba证明: 2322 21 ()()()101c abab 左 右)(ba(3) 1211221100nnnnnxxaxaxxaa 证明: 按最后一行展开，得 1 2100001() ()001n nxxaax x 左 3 212 00(1) ()01001n nxa axx -3- 3-32110() 100nxxax 2222121()()()()(
3、nnnnnnxaaxa122nnaxx 右3=2-3计算下列行列式（1）1100(1)()xaaxxaxnxn )1()(1aan(2) 111 (1)211()()nn nnn nnnaaDaa （最后一行（n+1）行依次与第 n,n-1,2,1 行交换， 经过 n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的 n 行）依次换到第二行，经过 n-1 次交换；。 。 。 。最后一共经过次换行。使原行列式化为范德蒙德行列式）(1)(1).2n nji nji njinniaj0 002)1()( )()(3) -3- 3-41 1112 11 1(21)000n nnnn n nnn nababD
4、ccdcd d 按 展 开1 121 2(1)2(1)1 12100() 0nn nnn nnbacbadDcbcd )(2(Dbcda 112Dniiibcda1)（4） 解：按第一列展开行列式 ，得 11 10. 00().000nn nn nxyxyyxDxyyyx x 111()()nnnxy（5）当 时，11Dab当 时，2-3- 3-511212121212 211222()abababaD当 时3n11211211212222 212 212n n nnnnnnnnabababbabD 1212112 222200,3.in nn n nnababacb 习题 3.33-3-1
5、利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵（1） cosiinA1112212:0cos,sin,si,cosAAA解 存 在 。*cosinico,ii12345B102123.4645解 ： det=其 逆 矩 阵 存 在112132122331323* 020036,467AAAAABB ， ， ， ， ， ， ， ， ，-3- 3-6（3） ，其中abcd0bc解： 逆矩阵存在又 112212,AdcAba故 1abdbcdca3-3-2 设矩阵 ， ， 求 ， ，2513A461BAB1解： ， ， 存在8760B0由 ，所以1352A13512A又 存在，且 ，故0B1B16241/6/18463
6、-3-3 设 为可逆矩阵，证明A*1*()A证明： 可逆， 且逆矩阵为 ， 01AI*1A由于 ， 可逆且 可得11*1()1*()另一方面，由 *11()AAI由矩阵可逆定义知， 可逆，且*1*()3-3-4 设 ，证明：0k121()kII证明： 若 ，则AB-3- 3-7212121()k kkIAAIAA 原式得证k3-3-5 设方阵 满足 ，证明 及 都可逆，并求20II11,()I解： 20()2)I I显然 可逆且 可逆 A12AI0A且 ， 2I2I即 可逆， 由 ，于是211()I由 得，20AI()34(2)34AII， 故 12()II1()A3-3-6.用克拉姆法则解方
7、程组（1）231x解：01022311D1400332134012D321211363D312423DDxxx-3- 3-83-3-7 问 取何值时， 有非零解？123()40()x解： 32124313721Dc()(7)313)42(1)2()7(732当 时，即 时，有非 0 解0D(0即 ， 或 时，有非 0 解3习题 3.43-4-1 求矩阵的秩与标准形矩阵 1213 332 21961 3238241406489020 130rrr ri 秩 为（2） 3212 434 154 110087832rr -3- 3-9321101002c 为 标 准 形 。秩为 2（3） 43213
8、 241001102462 6rr 2 433 5421431()01210021601r cc 为 标 准 型 。易知，秩为 4。3-4-2答：在秩为 的矩阵中，有等于零的 阶子式，没有等于零的 阶子r1rr式，没有不等于零的 阶子式。13-4-3证明：任何秩为 的矩阵均可表示为 个秩为 1 的矩阵之和。rr证：设 A 为 mn 矩阵，且 R（A）= 。故 A 必与矩阵 B 等价。r-3- 3-10行第 rB00100 即 m 阶可逆矩 阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A=PBQ。又 12 001001 ()100rB rE 第 行其中 是 mn 矩阵，仅第 i 行第 i 列的元素 为
9、 1，其 余 元 素 全 都 为)3.(i0.12()rAPBQEQ 12r rPB 且初等变换不改变矩阵的秩，(.)ii 其 中 ， 又 均 可 逆证毕。()()iiiRBEQRr有3-4-4证明：等价矩阵有相同的标准型矩阵。证：设 为等价矩阵，则 经过有限次初等行变换 可换为 。,AAB从而 分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型，再经过有限次B初等列变换可化为标准型. 故等价矩阵有相同的标准型矩阵.-3- 3-113-4-5 的 秩 最 小 ？取 何 值 时问设 AA,51043解：法一：初等变换法1101340105551010155（ ）053054rArA则 当 或 时 ，
10、（ ） ， 当 且 时 ， （ ）3当 或 时 ， 秩 最 小 。法二：定义法第五章101,24343.5013015053.53A rAAr在 中 取 行 的 一 个 三 阶 子 式 ， （ ）又 （ ）当 或 时 ， ， 即 （ ） 或 时 ， 秩 为 最 小 。n 维向量空间习题 5.15-1-1. 解： a-b = a+(-b) = (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T = (0,1,2)T5-1-2. 解 ： 3(a 1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a)
11、3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a-3- 3-123a1+2a2+(-a)=5a3+5a ， 3a 1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a33a1+2a2+(-5)a3 =6a3a1+2a2+(-5)a3 = 6a ， a1+ a2+(- )a3 = a6665将 a 1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a = a1+ a2+(- )a3 中5可得： a=(1,2,3,4) T.5-1-3.(1) V1是向量空间.由(0,0,0) V1知 V1非空.设 a=(x1,x2,xn)V1,b=(y1
12、,y2,yn) V1, 则有 x1+x2+xn=0，y 1+y2+yn=0. 因为 (x 1+y1)+(x2+y2)+(xn+yn)= (x1+x2+xn)+( y1+y2+yn)=0所以 a+b=( x 1+y1,x2+y2,xn+yn) V1.对于 k R，有kx1+kx2+kxn=k(x1+x2+xn)=0所以 ka=( kx 1,kx2,kxn) V1. 因此 V1是向量空间 .(2) V2不是向量空间.因为取 a=(1, x2,xn) V2 ,b=(1, y2,yn) V2,但a+b=(2, x2+y2, xn+yn) V2. 因此 V2不是向量空间 .习 题 5.25-2-1. 求
13、向量 b 关于向量组 a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：(1) 解：= 1234,aab01011 21初 等 行 变 换因此向量 b 关于向量组 的线性组合表达式为：1234,.aa(2) 解：-3- 3-13= 1234,aab123102140 9初 等 行 变 换因此向量 b 关于向量组 的线性组合表达式为：1234,a4925-2-2(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数由推论 2 知 线性相关.1234,a(2) 解 405120513162321a因为 所以 线性无关.321R13,a(3) 解 0214206713421a因为 ， 所以 线性相关.221R1
14、3,a(4) 解 50413204130321a因为 ， 所以 线性无关.321R1,a5-2-3. 证明：假设有常数 k1,k2,k 使 k 1b1+k2b2+k3b3=0又由于 13,ba于是可得 21123()()0a-3- 3-14即 (k 1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0因为 线性无关，所以有123,a解得 0321k0321k因此向量组 b1,b2,b3线性无关.5-2-4. 设存在常数 k1,k2,k3,k4使 k 1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因为 b 1=a1+a2, b2= a2+a3, b3=a3+a4, b4= a4+a1于是可得： k
15、 1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0整理得：(k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，（下用两种方法解）法 一： 因为 a1,a2,a3,a4为同维向量， 则(1) . 当向量组 a1,a2,a3,a4线性无关时， k1+k4=0， k2+k1=0，k 2+k3=0，k 3+k4=0，方程组 ，方程组的系数行列式 所以方程组有非零解043214k 010因此 b 1,b2,b3,b4 线性相关。(2) 当向量组 a1,a2,a3,a4线性相关时，k 1+k4，k 2+k1，k 2+k3，k 3+k4至少
16、存 在 一个不为 0，不防设 k1+k40，那么 k1,k4至少有一个不为零。因此k1,k2,k3,k4不全为 0，于是可得 b1,b2,b3,b4线性相关。5-2-5. 证明：（法一）设 ， maA,21mB,21则有 )(R因为向量组 线性无关，则 ，所以有m,1 AR)(BR)(-3- 3-15而 B 是 n 行 m 列矩阵，所以 mBR)(综上知 ，所以向量组 线性无关。R)( b,1（法二）假如 向量组 b1,b2,bm线性相关.即存在不全为 0 的常 k1,k2,km,使：k1b1+k2b2+kmbm=0由题意不妨设 a 1=(a11,a12,a1r),a2=(a21,a22,a2
17、r),am=(am1,am2,amr)则相应地， b 1=(a11,a12,a1r,a1r+1, a1n),b2=(a21,a22,a2r,a2r+1, a2n),bm=(am1,am2,amr,amr+1, amn)由 k 1b1+k2b2+kmbm=0 可得：k1a11+k2a21+kmam1=0k1a12+k2a22+kmam2=0,k1a1r+k2a2r+kmamr =0k1a1r+1+k2a2r+1+kmamr+1 =0,k1a1n+k2a2n+kmamn=0去前面 r 个分量可得：k1(a11,a12,a1r)+k2(a21,a22,a2r)+km(am1,am2,amr)=0即
18、k 1a1+k2a2+kmam=0由假设知 k1,k2,km不全为 0，因此 a1,a2,am线性相关，此与 a1,a2,am线性无关相矛盾，结论得证.习 题 5.35-3-1 （1）解：对矩阵进行初等行变换为-3- 3-1648203519753102470021347该矩阵的秩为 3，矩阵的第 1,2,3 列是它的列向量组的一个极大无关组.（2） 解：对矩阵进行初等行变换为0122101201该矩阵的秩为 4，因此矩阵的第 1,2,3,4 列是它的列向量组的一个极大无关组.5-3-2(1) 解：以 a1,a2,a3为列作矩阵 A：A= 7465312105890594该矩阵的秩为 2,它的
19、一个极大无关组为 a1,a2（2） 解：以 a1,a2,a3为列作矩阵 A= 30该矩阵为下三角矩阵，其 ，因此该矩阵的秩为 3,它的一个极大无关组为向量0A组本身. （3） 解：以 a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵 A,-3- 3-170021521 200152120514031521A矩阵 A 的秩为 3, 矩阵 A 的第 1,2,3 列构成它的一个极大无关组， 5-3-3 证明：（法一） 设 ； ，且 sa,:21 tbB,:21 rBRA)(tsbaC,:2121向量组 C 能被 A 表示，而 A 也能被 C 表示所以 )()(BRrR取向量组 B 的极大无关组为： ，它也是向
20、量组 C 的极大无关组，riib,21所以向量组 C 能由向量组 线性表示，所以向量组 C 能由向量组 B 线性表riib21示，所以向量组 A 能由向量组 B 线性表示，加上题设条件，所以向量组 A 与向量组 B等价。（法 二）设向量组 B 和 A 的秩均为 r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b1,b2,br), (a1,a2,ar).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组 A 与 B 等价，只证明 a1,a2,ar可由b1,b2,br线性表示即可.因为 B 可由 A 线性表示，不妨设b1=c11a1+c12a2+c1rar
21、b2=c21a1+c22a2+c2rar br= cr1a1+cr2a2+crrar不妨设存在常数 k1,k2,kr使-3- 3-18k1b1+k2b2+krbr=0于是可得：(k1c11+k2c21+krcr1)a1+(k1c12+k2c22+krbr2)a2+(k1c1r+k2c2r+krbrr)ar=0由 a1,a2,ar 线性无关可得：k1c11+k2c21+krcr1=0k1c12+k2c22+krbr2=0 k1c1r+k2c2r+krbrr=0把 k1,k2,kr当作未知数，当 k1,k2,kr只有 0 解时，b 1,b2,br线性无关.要k1,k2,kr只有 0 解，当且仅当
22、0 (i=1,r,j=1,2,r),即ijC= rrrcc 212112即矩阵 C 的秩为 r,存在逆矩阵 C-1.设 C-1= rrrcc 212112又因为 =C , 则 C -1 = C-1C rb21rarb2ra21即= C-1ra21rb21因此有： a 1= b1+ b2+ brcc1a2= b1+ b2+ br -3- 3-19ar= b1+ b2+ brcrc也即说明，a 1,a2,ar可由 b1,b2,br线性表示，因此结论成立.证明：(1) 必要性. 若 a 是任一 n 维向量，由于 n+1 个 n 维向量 a1,a2,an ,a 必线性相关，而 a1,a2,an线性无关
23、，故 a 必可由 a1,a2,an线性表示.(2) 充分性.因为任一 n 维向量都能由 a1,a2,an线性表示，则特别地 n 维单位坐标向量e1,e2,en都能由 a1,a2,an线性表示,因此，a 1,a2,an与 e1,e2,en是等价的向量组，故 a 1,a2,an的秩为 n,即它们线性无关.5-3-8. 证明： 因为 R3=L(e1,e2,e3), e1,e2,e3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e1,e2,e3)= L(a1,a2,a3).即证 e1,e2,e3与 a1,a2,a3等价.显然，a 1,a2,a3可由e1,e2,e3线性表示，因而只须证明 e1,e2,e3可由 a1
24、,a2,a3线性表示即可.因为 且 321,a321,01因此矩阵 为可逆矩阵，其逆矩阵为 01 21即 321,e321,a21这说明 e1,e2,e3可由 a1,a2,a3线性表示，因此 L(a1,a2,a3) = R3.5-3-9. 证明：（法 一）-3- 3-20 10101101021Ta11232Tb因为 与 有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换Ta2121得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组 与向量Ta21,等价，即向量组 a1,a2与向量组 b1,b2等价。Tb21,（法 二）(1) (b1,b2)能由(a 1,a2)线性表示. 设(b 1,
25、b2)= (a1,a2) 43k即 =1034231k可解得： =42k这说明 (b 1,b2) 能由 (a 1,a2) 线性表示.(2) (a1,a2)能(b 1,b2)由线性表示.由(1)可知： (b 1,b2)= (a1,a2) ， =-2 0313也即是矩阵 有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为 3 2因此有 (a 1,a2)= (b1,b2) 3-3- 3-21也即(a 1,a2)能(b 1,b2)由线性表示.由(1),(2)可知: L(a 1,a2)=L(b1,b2)5-3-10. 解： 设存在常数 k1,k2, k3 ， 使 k 1a1+k2a2+k3a3=0即 03321k可解得： k
26、 1=k2=k3=0因此 a 1,a2,a3线性无关,即 a1,a2,a3为 R3的一个基.设向量 b1=l1a1+l2a2+l3a3, b2=l4a1+l5a2+l6a3.即(l 1,l2,l3)，(l 4,l5,l6)分别为 b1,b2在基 a1,a2,a3下的坐标.也即是：和 72031lll 132389654lll可分别解得： 和 1321ll654l因而 b1,b2在基 a1,a2,a3下的坐标分别为(2,3,-1)和 (3,-3,-2).5-3-11. 解： V 的维数为 n-1 维，取 V 中 n-1 个向量 e2=(0,1,0,0), e3=(0, 0,1 ,0), en=
27、(0,0,0,1).易证 e2,e3,en线性无关.对任意x=(0,x2,x3,xn)有 x=x 2e2+x3e3+xnen ,因此， e 2,e3,en为 V 的一个基.习 题 5.45-4-1(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下12121210240303344于是可得：-3- 3-2244321x取 x41，可得线性方程组的一个基础解系为： =134因此可得线性方程组的通解为： =k , k R.(2) 解： 齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下5310625310142012于是可得：02341xx取 ，可得线性方程组的一个基础解系为：,042x1= 2=,01因此可得线性方
28、程组的通解为： =k1 1+k2 2, k1,k2 R.(3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 74216351903475106743-3- 3-2373205147因此该齐次线性方程组只有 0 解.5-4-2.(1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下 691432835414702851021于是可得：2331x其导出组的一个基础解系为： = ，非齐次线性方程组的一个特解为 =1013因此非齐次线性方程组的通解为： = +k ,k R.0(2) 非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下 121221013200因此有： 321x可得非齐次线性方程组的一个特解为： = .其
29、导出组的一个基础解系为： =012-3- 3-24. 于是可得非齐次线性方程组的通解为： = +k ,k R.1 05-4-3、解：因齐次线性方程组的一个基础解系有两个解向量，所以它的系数矩阵的秩为 4-2=2,设其中一个方程为 ，所以有04321xaxa321 10230所以 取 ，得： ，4321aa,3 1032,4321a所以 为所求。02413x5-4-4、解：因非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3，则它的导出组的自由未知量个数为 1，其基础解系只有一个解向量，不妨设为 ， 由题知， 121所以通解为： （k 为任意数）15431kX5-4-5.解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如
30、下-3- 3-252122310203要方程组有解，其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.因此有 + -2=0,可解得2=-2 或 =1.（1）.当 =-2 时，其增广矩阵为 ，因此 ，相应地0212321x其导出组的解为 ，它的一个基础解系为 =(1,1,1)T. 非齐次线性方程组321x的一个特解为 =(3,3,1)T.则非齐次线性方程组的通解为 = +k ,k R.0 0（2）. 当 =1 时，同(1)类似可解得非齐次线性方程组的通解为 = +k ,k R. 0其中 =(2,1,1)T, =(1,1,1)T.05-4-6.证明：设 B=(b1,b2,bn),由 AB=0 知 Abj=0(j=1,2,n),即向量组b1,b2,bn是方程组 AX=0 的解向量，从而它们可由 Ax=0 的基础解系线性表示.故b1,b2,bn的秩不大于 n-R(A) (基础解系所含解向量个数),也就是 R(B) n-R(A)，或 R(B) +R(A) n.
