1、初中数学函数专题复习专题一 一次函数和反比例函数一、一次函数及其基本性质1、正比例函数形如 的函数称为正比例函数，其中 k 称为函数的比例系数。0kxy（1）当 k0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；（2）当 k0,b0,这 时 此 函 数 的 图 象 经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 ； y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； （ 2） 当 k0,b0,这 时 此 函 数 的 图 象 经 过 第 一 、 二 、 四 象 限 ； y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； （ 4） 当 k -1 C、x1 D、x1 时,y 的取值范围是(
2、)A、y=1 B、1y4例题 2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数 图象交于点 ，则点 的坐标53xyx与 M（ ）A、 （-1，4） B、 （-1，2） C、 （2，-1） D、 （2，1）随堂练习：如图，一次函数 y=k1x+b1 的图象 l1 与 y=k2x+b2 的图象 l2 相交于点 P,则方程组 的解是（ ）21,bxkyA、 B、 C、 D、3,3y3,2yx23xy例题 3：如图，直线 y=kx+b 经过 A（3,1）和 B（6,0）两点，则不等式 0kx +b的解集为 _。x1随堂练习：如图，已知函数 y3xb 和 yax3 的图象交于点 P(2，5)，则根据图象可得不等式
3、3xbax3 的解集是 。5、一次函数的基本应用问题例题1：如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线AB一D CA的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP 长为y,则y关于x的函数图象大致是 ( )yxl1L2PO-233随堂练习：如图 3，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 轴，D （5,4） ，xxAD=2.若动点 同时从点 O 出发， 点沿折线 运动，到达 点时停止； 点沿FE、 ECADF运动，到达 点时停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度。设 运动秒 时， 的面积OC EEO为 （平方单位） ，则 关于
4、的函数图象大致为（ ）yyx例题 2：某景区的旅游线路如图 1 所示，其中 A 为入口，B，C，D 为风景点，E 为三岔路的交汇点，图1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km ）甲游客以一定的速度沿线路“ADCEA”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到 A 处时，共用去 3h甲步行的路程 s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图 2 所示（第 2 题）图 208Os/(km)t/(h)18163261234A1DCBE080413图 1（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；（2）求 C，E 两点间的路程；4（3）乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到
5、A 处，两人相约先到 者 在 A 处 等 候 ， 等候时间不超过 10 分钟如果乙的步行速度为 3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由。随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 A、B 两厂，通过了解获得 A、B 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/ ”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：kmt厂别 运费（元/ ） 路程（ ）需求量（ ）tA 0.45 200 不超过 600B )(为 常 数a150 不超过 800（1）写出总运费 （元）与
6、运往厂的煤炭量 （ ）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；yxt（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含 的a代数式表示）例题 3：如图，直线 y=kx-6 经过点 A（4，0） ，直线 y=-3x+3 与 x 轴交于点 B，且两直线交于点 C。（1）求 k 的值；（2）求ABC 的面积。随堂练习：如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标为( 4，0)，点 B 的坐标为(0，b)(b0) P 是直线 AB 上的一个动点，作 PCx 轴，垂足为 C记点 P 关于 y 轴的对称点为 P（点 P不在y 轴上） ，连结 PP，PA，
7、PC设点 P 的横坐标为 a（1）当 b3 时，求直线 AB 的解析式； 若点 P的坐标是(-1，m) ，求 m 的值；（2）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 PC 的交点为 D 当 PD： DC=1：3 时，求 a 的值；（3）是否同时存在 a， b，使PCA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 a， b 的值；若不存在，请说明理由。.5二、反比例函数及其基本性质1、反比例函数的基本形式一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数。 还可以写成xkyokxkykxy1)0(kxy )0(kxy2、反比例函数中比例系数 的几何意义k（1）过反比例函数图像上一点，向 x
8、轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数 k 的绝对值的一半。（2）正比例函数 y=k1x（ k10）与反比例函数 y= （k 0）的图像交于 A、B 两点，过 A 点作 ACxx轴，垂足是 C，三角形 ABC 的面积设为 S，则 S=|k|，与正比例函数的比例系数 k1 无关。（3）正比例函数 y=k1x（k 10）与反比例函数 y= （k 0）的图像交于 A、B 两点，过 A 点作 ACx轴，过 B 点作 BCy 轴，两线的交点是 C，三角形 ABC 的面积设为 S，则 S=2|k|，与正比例函数的比例系数 k1 无关。例题 1：点 P 是 x 轴正半轴上的
9、一个动点，过 P 作 x 轴的垂线交双曲线 于点 Q，连续 OQ，当点 P1yx沿 x 轴正方向运动时，RtQOP 的面积（ ）A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定例题 2：如图，双曲线 与O 在第一象限内交于 P、Q 两点，分别过 P、Q 两点向 x 轴和 y(0)kyx6轴作垂线，已知点 P 坐标为(1 ，3)，则图中阴影部分的面积为 。随堂练习：1、如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数的图象上。若点 A 的坐标为（2，2） ，则 k 的值为21kyxA、 1 B、 3 C、 4 D、 1 或32、如图所示，在
10、反比例函数 的图象上有点 ，它们的横坐标依次为(0)yx1234,P1，2，3，4，分别过些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 。14,S123S3、如图,直线 和双曲线 交于 A、B 亮点,P 是线段 AB 上的点（不与 A、B 重合）,过点l(0)kyxA、B、P 分别向 x 轴作垂线,垂足分别是 C、D、E,连接 OA、OB、OP,设AOC 面积是 S1、B OD 面积是S2、POE 面积是 S3、则（ ）A、S 1S 2S 3 B、 S1S2S3 C、S 1=S2S3 D、S 1=S2（1）求 k 的值及点 B 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在
11、点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由例题 3：已知一次函数 y1=x1 和反比例函数 y2= 的图象在平面直角坐标系中交于 A、B 两点，当 y1y 22x时，x 的取值范围是( )A、x2 B、1x0 C、x2，1x0 D、x 2，x08随堂练习：1、如图，反比例函数 y1= 和正比例函数 y2=k2x 的图象交于 A（-1，-3） 、B（1，3）两点，若 k 2x，k1x k1x则 x 的取值范围是A、-1x0 B、-1x 1 C、x-1 或 0x1 D、-1x 0 或 x12、点 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数
12、 y= 的图象上，若 x10 时，抛物2ya2ya线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当 a0 时，开口向上；当 a0 时 x 的取值范围。例题 4：关于 x 的二次函数 y=x22mx +m2 和一次函数 y=mx+n（m0） ，在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）随堂练习：1、二次函数 的图象如图，则一次函数 的图象经过（ ）2()yaxmnymxnA、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限2、函数 y=ax 1 与 y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A、 B、 C、 D、1 1 1 1xo yyo xyo
13、xxo y3、二次函数的增减性及其最值（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增13大；在对称轴处取到最小值 ，越靠近对称轴，函数值越小。24acb（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴处取到最大值 ，越靠近对称轴，函数值越大。24acb例题 1：二次函数 的图象如图 2 所示，若点 A（1，y 1） 、B（2，y 2）是它图象上的两点，则xy2y1 与 y2 的大小关系是（ ）A、 B、 C、 D、不能确定21y21y例题 2：设 A 是抛物线 上的
14、三点，则 的大小关系为123(,)(,)yBCy 2(1)yxm123,y（ ）A、 B、 C、 D、123y132321y213随堂练习：已知二次函数 y x 27x ，若自变量 x 分别取 x1，x 2，x 3，且 0x 1x 2x 3，则对应5的函数值 y1，y 2，y 3 的大小关系正确的是 ( )A、y 1y 2y 3 B、 y1y 2y 3 C、y 2y 3y 1 D、 y2y 3y 14、二次函数中三大参数的和函数图像的关系（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样。a2ax（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线 的对称轴是直线 ,故：b cbxay2 ab
15、x2 时，对称轴为 轴； (即 、 同号) 时，对称轴在 轴左侧； (即 、 异号) 时,0y0ab 0对称轴在 轴右侧。y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置。ccx2y当 时， ， 抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：0xybay c ，抛物线经过原点； ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴。c0cy0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 。0ab14例题 1：已知二次函数 （ ）的图象如图 4 所示，有下列四个结论：2yaxbc0a ，其中正确的个数有（ ）2040bcb A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例题2：已知二次
16、函数 的图象如图所示，有下列结论： ； abc0； 8a+c0；9a+3b+ c0。其中，正确结论的个数是( )。A、1 B、2 C、3 D、4随堂练习：1、已知二次函数 (其中 ， ， )，关于这个二次函数的图象有如下说法： 图象的开口一定向上； 图象的顶点一定在第四象限； 图象与 x 轴的交点至少有一个在 y 轴的右侧。以上说法正确的有( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个2、已知二次函数 的图象如图所示对称轴为 。下列结论中，正确的是（ )0(acbxy 21x）A、abc0 B、a+b=0 C、2b+c0 D、4a 十 c-3 C、 k3例题 2：正方形 在如图所示的平
17、面直角坐标系中， 在 轴正半轴上， 在 轴的负半轴上，CDAxDy交 轴正半轴于 交 轴负半轴于 ， ，抛物线 过 三点ByE， xF1OE24yabxAF、 、（1）求抛物线的解析式； （2） 是抛物线上 间的一点，过 点作平行于 轴的直线交边 于 ，交 所在直线于 ，QF、 QxMBCN若 ，则判断四边形 的形状；32QNAFMSS四 边 形 AFM（3）在射线 上是否存在动点 ，在射线 上是否存在动点 ，使得 且 ，若DBPCBHAP PH存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由。OyxB EADCF随堂练习：1、定义一种变换：平移抛物线 得到抛物线 ，使 经过 的顶点 设 的对称轴分
18、别交1F2F1A2F于点 ，点 是点 关于直线 的对称点。2F， DB， CABD（1）如图 1，若 ： ，经过变换后，得到 ： ，点 的坐标为 ，则 的值2yx22yxbC(0)， b等于_；四边形 为（ ）AA、平行四边形 B、矩形 C 、菱形 D、正方形（2）如图 2，若 ： ，经过变换后，点 的坐标为 ，求 的面积；1F2yaxcB(21)c， ABD（3）如图 3，若 ： ，经过变换后， ，点 是直线 上的动点，求点733ACPC到点 的距离和到直线 的距离之和的最小值。PDAD292、如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 5 的等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为（ 1，0） ，点 B 在抛物线 2yax上（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2）抛物线的关系式为 ；（3）设（2）中抛物线的顶点为 D，求DBC 的面积；（4）将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90，到达 ABC 的位置请判断点 B、 C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由
