1、空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点梳理】1简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 任一边所在的直线圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球 半圆 直径所在的直线3空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图(2)三视图的画法在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是
2、从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴，y轴的夹角为45或 135，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半【考点突破】考点一、空间几何体的结构特征【例 1】给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕
3、其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 A解析 错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时 才是母线；错误，因 为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形” ，如图(1) 所示； 错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 (2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是 侧棱长不一定相等【类题通法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)把握几何体的结
4、构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结 构特征进行辨析【对点训练】下列结论正确的是( )A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案 D解析 如 图知，A 不正确如图 ，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则 B 不正确 C 错误 若六棱 锥的所有棱 长都相等， 则底面多边形是正六 边形由几何 图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大
5、于底面边长 由母线的概念知，选项 D 正确考点二、空间几何体的三视图【例 2】一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A B C D答案 B解析 该几何体是 组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此 选项 B 适合【类题通法】由几何体的直观图画三视图需注意的事项注意正视图 、侧视图和俯视图对应的观察方向；注意能看到的线用实线 画，被挡住的线用虚线画；画出的三视图 要符合“ 长对正、高平 齐、宽相等”的基本特征【对点训练】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积
6、的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )答案 B解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯 视图中应为实线，因此，选项 B 可以是几何体的俯视图.【例 3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_答案 2 2解析 由题 中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中 PA平面ABC，M 为 AC 的中点，且 BMAC，故 该三棱锥的最长棱为 PC
7、.在 RtPAC 中，PC 2 .PA2 AC2 22 22 2【类题通法】由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图 确定几何体的底面.(2)根据正视图 或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【对点训练】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为( )A1 B C D22 3答案 C解析 由三 视图知， 该 四棱锥的直观图如图所示，其中 PA平面 ABCD.又PAAD AB 1，且底面 ABCD 是正方形，所以 PC 为最长棱连接 AC，则 PC .AC2 PA2 22 1 3考点三、空间几何体的直观图【例 4】有一块多边
8、形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形( 如图所示) ，ABC 45，ABAD 1，DC BC，则这块菜地的面积为_.答案 222解析 如图 1，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E.在 RtABE 中，AB 1，ABE45，BE .22又四边形 AECD 为矩形，ADEC1.BCBEEC 1.22由此还原为原图形如图 2 所示，是直角梯形 ABCD.在梯形 ABCD中，A D1， BC 1，AB2.22这块菜地的面积 S (ADBC) AB 22 .12 12(1 1 22) 22【类题通法】1画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其 规则可以用“斜”(两坐标轴成4
9、5或 135)和“二测”( 平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变) 来掌握 对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量2按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图 S 原图形24【对点训练】已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图AB C的面积为( )A a2 B a2 C a2 D a234 38 68 616答案 D解析 如图 所示的实际图形和直观图，由可知，A BABa，OC OC a，12 34在图中作 CDAB于 D，则 C D OC a，22 68所以 SABC AB CD a a a2.12 12 68 616
