1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型 等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 12:S S a b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCDSS ； 反之，如 果 ACD BCDSS ，则可知直线 AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )； 三角形面积等于与它等
2、底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等 于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 如图在 ABC 中， ,DE分别是 ,ABAC 上的点如图 (或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上 )， 则 : ( ) : ( )A B C A D ES S A B A C A D A E EDCBAEDCBA图 图 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系 (“蝶形定理” )： 1 2 4 3:S S S S 或者
3、1 3 2 4S S S S 1 2 4 3:A O O C S S S S 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关 系与四边形内的三角形相联系； 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 梯形中比例关系 (“梯形蝶形定理” )： 2213:S S a b 221 3 2 4: : : : : :S S S S a b ab ab ； S 的对应份数为 2ab baS2S1 DCBAS 4S 3S 2S 1ODCBAAB CDObaS 3S 2S 1S 4四、相似模型 (一 )金字塔模型 (二 ) 沙漏模型 GF EAB
4、 CDAB CDE FG AD AE DE AFAB AC BC AG； 22:AD E ABCS S AF AG ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 (只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 )，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形 中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出
5、现的相似三角形 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么:ABO ACOS S BD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 . 典型例题 【例 1】 如图，正方形 ABCD的边长为 6， AE 1.5， CF 2 长方形 EFGH的面积为 【解析】 连接 DE， DF， 则长方形 EFGH的面积是三
6、角形 DEF面积的二倍 三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 6 6 1 . 5 6 2 2 6 2 4 . 5 4 2 1 6 . 5D E FS ,所以长方形 EFGH面积为 33 【巩固】如 图所示，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ _ H _ G _ F_ E_ D _ C_ B_ A _ A_ B _ C_ D _ E_ F_ G _ H OFED CBA【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作 特殊的平行四边形 )三角形面积等于与它等底
7、等高的平行四边形面积的一半 证明：连接 AG (我们通过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起 ) 在正方形 ABCD 中，G 12ABS AB AB 边上的高， 12ABG ABCDSS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ) 同理， 12ABG EFGBSS 正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等 长方形的宽 8 8 10 6.4 (厘米 ) 【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 36 2cm ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一 点，问阴影部分面积是多少 ？ HGFEDCBA【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，
8、如下图： HGFEDCBA可得： 12EHB AHBSS、 12FHB CHBSS、 12DHG DHCSS，而36A B C D A H B C H B C H DS S S S 即 11( ) 3 6 1 822E H B B H F D H G A H B C H B C H DS S S S S S ； 而 E H B B H F D H G E B FS S S S S 阴 影 ，1 1 1 1 1( ) ( ) 3 6 4 . 52 2 2 2 8EBFS B E B F A B B C 所以阴影部分的面积是： 18 18 4.5 13.5EBFSS 阴 影 解法二：特殊点法找 H
9、 的特殊点，把 H 点与 D 点重合， 那么图形就可变成右图： _ A _ B_ G _ C _ E_ F_ D _ A _ B_ G _ C _ E_ F_ D GAB CDEF(H )这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有： 1 1 1 1 1 1 13 6 3 6 3 6 3 6 1 3 . 52 2 2 2 2 2 2A B C D A E D B E F C F DS S S S S 阴 影 【巩固】 在边长为 6厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对 边三等分，分别与 P 点连接 ,求 阴影 部分面积 PDCBAAB CD(
10、P)PDCBA【解析】 （法 1）特殊点法由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 14和 16，所以阴影部分的面积为 2 116 ( ) 1546 平方厘米 （法 2）连接 PA 、 PC 由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于 正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 16，所以阴影部分的面积为 2 116 ( ) 1546 平方厘米 【例 3】 如图所示，
11、长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， 8AB ， 15AD ，四边形 EFGO的面积为 OGFEDCBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和，以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO的面积 由于长方形 ABCD 的面积为 15 8 120 ，所以三角形 BOC 的面积为 1120 304，所以三角形 AOE 和 DOG 的面积之和为 3120 70 204 ； 又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO的面积之和为 11120 3024 ，所以四边形EFGO的面积为 30 20 10
12、另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积 白色部分的面积，而三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120 70 50，所以四边形的面积为 60 50 10 【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 36， E 是 AD 的三等分点， 2AE ED ，则阴影部分的面积为 OAB CDENMOAB CDE【解析】 如图，连接 OE 根据蝶形定理， 1: : : 1 : 12C O E C D E C A E C D EO N N D S S S S ，所以 12OEN
13、OEDSS； 1: : : 1 : 42B O E B A E B D E B A EO M M A S S S S ，所以 15OEM OEASS 又 11 334O E D A B C DSS 矩 形， 26OEA OEDSS，所以阴影部分面积为：113 6 2.725 【例 4】 已知 ABC 为等边三角形，面积为 400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积 (丙是三角形 HBC ) 丙乙甲HNMJI FEDCBA【解析】 因为 D 、 E 、 F 分别为 三边的中点，所以 DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线，也就
14、与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200 根据 图形的容斥关系，有 ABC ABN AM C AM H NS S S S S 丙 ， 即 400 200 200 AM H NSS 丙 ，所以 AMHNSS丙 又 A D F A M H NS S S S S 乙甲阴 影 ，所以11 4 3 4 0 0 4 34A D FS S S S S 乙甲 丙阴 影 【例 5】 如图，已知 5CD ， 7DE ， 15EF ， 6FG ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的
15、面积是 GFEDCBAABC D E F G【解析】 连接 AF ， BD 根据题意可知， 5 7 15 27CF ； 7 15 6 28DG ； 所以， 1527BE CBFF SS ， 1227BE CBFC SS ， 2128AEG ADGSS， 728AED ADGSS， 于是： 2 1 1 5 652 8 2 7A D G C B FSS； 7 1 2 382 8 2 7A D G C B FSS； 可得 40ADGS 故三角形 ADG 的面积是 40 【例 6】 如图在 ABC 中， ,DE分别是 ,ABAC 上的点，且 : 2:5AD AB ， : 4:7AE AC ，16ADE
16、S 平方厘米，求 ABC 的面积 EDCBAEDCBA【解析】 连接 BE ， : : 2 : 5 ( 2 4 ) : ( 5 4 )A D E A B ES S A D A B ， : : 4 : 7 ( 4 5 ) : ( 7 5 )A B E A B CS S A E A C ， 所 以 : ( 2 4 ) : ( 7 5 )A D E A B CSS ， 设8ADES 份，则 35ABCS 份， 16ADES 平方厘米，所以 1份是 2 平方厘米， 35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面积是 70 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角 (相
17、等角或互补角 )两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5倍， AC 是 AE 的 3倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ EDCBAAB CD E【解析】 连接 BE 3EC AE 3ABC ABESS 又 5AB AD 5 1 5A D E A B E A B CS S S ， 15 15A C ADESS 【巩固】如图，三角形 ABC被分成了甲 (阴影部分 )、乙两部分， 4BD DC， 3BE ， 6AE ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙甲ED CBAAB CDE甲乙【解析】 连接 AD 3BE ， 6AE 3
18、AB BE ， 3ABD BDESS 又 4BD DC， 2ABC ABDSS ， 6ABC BDESS ， 5SS乙 甲 【例 7】 如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 : 5:2AB AD ， : 3:2AE EC ， 12ADES 平方厘米，求 ABC 的面积 EDCBAEDCBA【解析】 连接 BE ， : : 2 : 5 ( 2 3 ) : ( 5 3 )A D E A B ES S A D A B : : 3 : ( 3 2) ( 3 5 ) : ( 3 2) 5A B E A B CS S A E A C ， 所以 : ( 3 2) : 5 (
19、 3 2) 6 : 25A D E A B CSS ，设 6ADES 份，则 25ABCS 份， 12ADES 平方厘米，所以 1份是 2 平方厘米， 25 份就是 50 平方厘米， ABC 的面积是 50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于 对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 【例 8】 如图，平行四边形 ABCD ， BE AB ， 2CF CB ， 3GD DC ， 4HA AD ，平行四边形 ABCD 的面积是 2 ， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比 HGA BCDEFHGA BCDEF【解析】 连接 AC 、 BD
20、根据共角定理 在 ABC 和 BFE 中， ABC 与 FBE 互补， 1 1 11 3 3ABCFBES A B B CS B E B F 又 1ABCS ，所以 3FBES 同理可得 8GCFS ， 15DHGS ， 8AEHS 所以 8 8 1 5 + 3 +2 3 6E F G H A E H C F G D H G B E F A B C DS S S S S S 所以 2136 18ABCDEFGHSS 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多 少？ ODCBA13 13121213131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积 . 我们可
21、以利用旋转的方法对图形实施变换 ： 把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为 13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置 .这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积 . 因此，原来四边形的面积为 12 12 144 .(也可以用勾股定理 ) 【例 10】 如图所示， ABC 中， 90ABC ， 3AB ， 5BC ，以 AC 为一边向 ABC 外作正方形 ACDE ，中心为 O ，求 OBC 的面积 53OAB CDEF53OAB CDE【解析】 如图，将 OAB 沿着 O 点顺时针旋转 90 ，到
22、达 OCF 的位置 由于 90ABC ， 90AOC ，所以 180OAB OCB 而 OCF OAB ， 所以 180OCF OCB ，那么 B 、 C 、 F 三点在一条直线上 由于 OB OF ， 90BOF AOC ，所以 BOF 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为5 3 8 ，所以它的面积为 2 18 164 根据面积比例模型， OBC 的面积为 516 108 【例 11】 如图，以正方 形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ， 90AEB ， AC 、BD 交于 O 已知 AE 、 BE 的长分别为 3cm 、 5cm ，求三角形 OBE 的面积 ABCDOEFAB
23、CDOE【解析】 如图，连接 DE ，以 A 点为中心，将 ADE 顺时针旋转 90 到 ABF 的位置 那么 90E A F E A B B A F E A B D A E ，而 AEB 也是 90 ，所以四边形AFBE 是直角梯形，且 3AF AE， 所以梯形 AFBE 的面积为： 13 5 3 122 ( 2cm ) 又因为 ABE 是直角三角形，根据勾股定理， 2 2 2 2 23 5 34A B A E B E ，所以21 172ABDS AB ( 2cm ) 那么 17 12 5B D E A B D A B E A D E A B D A F B ES S S S S S ( 2
24、cm )， 所以 1 2 .52OBE BDESS( 2cm ) 【例 12】 如下图，六边形 ABCDEF 中， AB ED ， AF CD ， BC EF ，且有 AB 平行于 ED ，AF 平行于 CD ， BC 平 行于 EF ，对角线 FD 垂直于 BD ，已知 24FD 厘米， 18BD厘米，请问六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘米？ FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将 BCD 平移使得 CD 与 AF 重合，将 DEF 平移使得 ED 与 AB 重合，这样 EF 、 BC 都重合到图中的 AG 了这样就组成了一个长方形 BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，
25、显然长方形 BGFD的面积为 24 18 432 平方厘米，所以六边形 ABCDEF 的面积为 432 平方厘米 【例 13】 如图，三角形 ABC 的面积是 1， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 : 1:2BD DC ，AD 与 BE 交于点 F 则四边形 DFEC 的面积等于 FED CBA33321FED CBAAB CDEFFEDCBA【解析】 方 法一：连接 CF ，根据燕尾定理， 12ABFACFS BDS DC， 1ABFCBFS AES EC, 设 1BDFS 份，则 2DCFS 份， 3ABFS 份， 3AEF EFCSS 份，如图所标 所以 551 2 1
26、2DCEF ABCSS方法二：连 接 DE ，由题目条件可得到 1133ABD ABCSS ， 1 1 2 12 2 3 3A D E A D C A B CS S S ，所以 11ABDADESBFFE S， 1 1 1 1 1 1 12 2 3 2 3 2 1 2D E F D E B B E C A B CS S S S ， 而 2 1 13 2 3C D E A B CSS 所以则四边形 DFEC 的面积等于 512 【巩固】 如图 ，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， 2EC DE ， F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米 ? x yyxAB CDEFGGF ED
27、CBA3 3GF EDCBA213【解析】 设 1DEFS 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 551 2 1 2BCDSS阴 影平方厘米 . 【例 14】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示 ) 如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的 13，且 2AO ， 3DO ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_倍 AB CDOHGAB CDO【解析】 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形 看到题目中给出条件 : 1 : 3ABD
28、BCDSS ，这可以 向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题 解法一： : : 1 : 3A B D B D CA O O C S S， 2 3 6OC ， : 6 : 3 2 :1OC OD 解法二：作 AH BD 于 H ， C
29、G BD 于 G 13ABD BCDSS， 13AH CG， 13AOD DOCSS， 13AO CO， 2 3 6OC ， : 6 : 3 2 :1OC OD 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面积已 知， 求：三角形 BGC 的面积； :AG GC ？ ABCDG321【解析】 根据蝶形定理， 1 2 3BGCS ，那么 6BGCS ； 根据蝶形定理， : 1 2 : 3 6 1 : 3A G G C 【例 15】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面积依次是 2、 4、 4和 6 求：求 OC
30、F 的面积；求 GCE 的面积 OGFEDCBA【解析】 根据题意可知， BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ，那 么 BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8 ，所以 OCF 的面积为 8 4 4； 由于 BCO 的面积为 8， BOE 的面积为 6，所以 OCE 的面积为 8 6 2 ， 根据蝶形定理， : : 2 : 4 1 : 2C O E C O FE G F G S S ，所以: : 1 : 2G C E G C FS S E G F G ， 那么 1 1 221 2 3 3G C E C E FSS 【例 16】 如图，长方形 ABCD 中， : 2:3BE EC ， :
31、 1:2DF FC ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积 AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 AE ， FE 因为 : 2:3BE EC ， : 1:2DF FC ，所以 3 1 1 1()5 3 2 1 0D E F A B C D A B C DS S S 长 方 形 长 方 形 因为 12AED ABCDSS 长 方 形， 11: : 5 :12 10AG GF ，所以 5 1 0AGD GDFSS平方厘米，所以 12AFDS 平方厘米因为 16AFD ABCDSS 长 方 形，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米 【例 17】 如图
32、，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积 GM DCBA【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以 : 1: 2AM BC ，根据梯形蝶形定理可以知道 22: : : 1 : 1 2 : 1 2 : 2 1 : 2 : 2 : 4A M G A B G M CG B CGS S S S （ ） （ ），设 1AGMS 份，则1 2 3M CDS 份，所以正方形的面积为 1 2 2 4 3 12 份， 2 2 4S 阴 影份，所以 : 1 : 3SS 阴 影 正 方 形 ，所以 1S 阴 影 平方厘米 【巩固】在下图的正方形 ABCD 中， E
33、 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF的面积为 1平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米 AB CDEF【解析】 连接 DE ，根据题意可知 : 1:2BE AD ，根据蝶形定理得 21 2 9S 梯 形 （ ） (平方厘米 )， 3ECDS (平方厘米 )，那么 12ABCDS (平方厘米 ) 【例 18】 已知 ABCD 是平行四边形， : 3:2BC CE ，三角形 ODE 的面积为 6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米 OEAB CDOEAB CD【解析】 连接 AC 由于 ABCD 是平行四边形， : 3:2BC CE ，所以 : 2:3C
34、E AD ， 根据梯形蝶形定理， 22: : : 2 : 2 3 : 2 3 : 3 4 : 6 : 6 : 9CO E A O C D O E A O DS S S S ，所以6AOCS (平方厘米 )， 9AODS (平方厘米 )，又 6 9 1 5A B C A C DSS (平方厘米 )，阴影部分面积为 6 15 21(平方厘米 ) 【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 (单位：平方厘米 )，阴影部分的面积是 平方厘米 21AB CDE9421AB CDEO94【分析】 连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，
35、那么 OCD OAESS 根据蝶形定理， 4 9 3 6O C D O A E O C E O A DS S S S ，故 2 36OCDS ， 所以 6OCDS (平方厘米 ) 【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 (单位：平方厘米 )，阴影部分的面积是 平方厘米 1682AB CDEO1682AB CDE【解析】 连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 OCD OAESS 根据蝶形定理， 2 8 1 6O C D O A E O C E O A DS S S S ，故 2 16OCDS ，所以 4OCDS (
36、平方厘米 ) 另解：在平行四边形 ABED 中， 11 1 6 8 1 222A D E A B E DSS (平方厘米 )， 所以 1 2 8 4A O E A D E A O DS S S (平方厘米 )， 根据蝶形定理，阴影部分的面积为 8 2 4 4 (平方厘米 ) 【例 19】 如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3块的面积分别为 2、 5、 8平方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为 _平方厘米 ?852OA BCDE F?852OA BCDE F【解析】 连接 DE 、 CF 四边形 EDCF 为梯形，所以 EOD FOCSS ，又根据蝶形定理，
37、EO D FO C EO F CO DS S S S ， 所以 2 8 1 6E O D F O C E O F C O DS S S S ，所以 4EODS (平方厘米 )， 4 8 12ECDS (平方厘米 )那么长方形 ABCD 的面积为 12 2 24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积为 24 5 2 8 9 (平方厘米 ) 【例 20】 如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点已知正方形 DEFG的面积 48， : 1:3AK KB ，则 BKD 的面积是多少？ KGFEDCBAMGFEDCBA【解析】 由于 DEFG是正方形，所以
38、 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形在梯形 ADBC中， BDK 和 ACK 的面积是相等的而 : 1:3AK KB ，所以 ACK 的面积是 ABC面积的 111 3 4，那么 BDK 的面积也是 ABC 面积的 14 由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是 BC 的中点，而且 AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG面积的一半，所以 ABC 的面积与正方形 DEFG的面积相等，为 48 那么 BDK 的面积为 148 124 【例 21】 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1的正方形， E 、
39、 F 、 G 、 H 分别是 AB ， BC ，CD ， DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 mn，那么， ()mn 的值等于 AB CDEFGHHGFEDCBA【解析】 左、右两个图中的阴影 部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积 如下图所示，在左图中连接 EG 设 AG 与 DE 的交点为 M 左图中 AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 14，所以三角形AMD 的面积为 2 1 1 11 2 4 8 又左图中四个空白三角形的面积是相等的
40、，所以左图中阴影部分的面积为 111482 MAB CDEFGHNHGFEDCBA如上图所示，在右图中连接 AC 、 EF 设 AF 、 EC 的交点为 N 可知 EF AC 且 2AC EF 那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 14，所以三角形 BEF 的面积为 2 1 1 112 4 8 ，梯形 AEFC 的面积为 1 1 32 8 8 在梯形 AEFC 中，由于 : 1:2EF AC ，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221 : 1 2 : 1 2 : 2 1 : 2 : 2 : 4 ，所以三角形 EFN 的面积为 3 1 18 1 2 2 4 24 ，那么四边形
41、BENF 的面积为 1 1 18 24 6而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 111463 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 11: 3:223，即 32mn， 那么 3 2 5mn 【例 22】 如图， ABC 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD DF FB， 则 :AD E D EG F FG C BS S S 四 边 形 四 边 形 EGFADCB【解析】 设 1ADES 份，根据面积比等于相似比的平方， 所以 22: : 1 : 4AD E AFGS S AD AF ， 22: : 1 : 9AD E ABCS S A D A
42、 B ， 因此 4AFGS 份， 9ABCS 份， 进而有 3DEGFS 四 边 形 份， 5FGCBS 四 边 形 份，所以 : : 1 : 3 : 5AD E D EG F FG C BS S S 四 边 形 四 边 形 【巩固】如图， DE 平行 BC ，且 2AD ， 5AB ， 4AE ，求 AC 的长 AEDCB【解析】 由金字塔模型得 : : : 2 : 5A D A B A E A C D E B C ，所以 4 2 5 10AC 【巩固】如图， ABC 中， DE ， FG ， MN ， PQ ， BC 互相平行， AD D F FM M P PB ，则 : : : :A D
43、 E D E G F F G N M M N Q P P Q C BS S S S S 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形 【解析】 设 1ADES 份， 22: : 1 : 4AD E AFGS S AD AF ，因此4AFGS 份，进而有 3DEGFS 四 边 形 份，同理有5FGNMS 四 边 形 份， 7MNQPS 四 边 形 份， 9PQCBS 四 边 形 份 所以有 : : : : 1 : 3 : 5 : 7 : 9A D E D E G F F G N M M N Q P P Q C BS S S S S 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形 QEGNMFP
44、ADCB【例 23】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ， F 是 BC 边的中点， E 是 DC 边上的点，且: 1:3DE EC ， AF 与 BE 相交于点 G ，求 ABGS GFAED CBMGFAED CBGFAED CB【解析】 方法一：连接 AE ，延长 AF ， DC 两条线交于点 M ，构造出两个沙漏，所以有: : 1 : 1AB CM BF FC，因此 4CM ，根据题意有 3CE ，再根据另一个沙漏有: : 4 : 7G B G E AB EM，所以 4 4 3 2( 4 4 2 )4 7 1 1 1 1A B G A B ESS 方 法 二 ： 连 接 ,AEEF ， 分 别 求 4 2 2 4ABFS ，4 4 4 1 2 3 2 2 4 7AEFS
