1、【学法旨要】1本章的学习目标是什么？（1 ）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数（2 ）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导（3 ）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数（4 ）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力（5 ）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限（6 ）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式2学好本章知识的关键是什么
2、？由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数 f（x）在点 处的函数的0增量 与相应的自变量的增量 的比值00xffx00ff当自变量的增量x0 时的极限值复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数） 在求导过程中，比如，函数 可看作 yf（u）xgfy几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的 f 关于 u 求
3、导，再xgtvu,将次外层的 关于 求导，后将第三层的 关于 t 求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数 g 关于自量 x 求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得【经点答疑】1怎样理解导数概念？在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念引例 1 求变速直线运动的瞬时速度解 设有一质点 M 在直线 AB 上自 O 点
4、开始作直线运动（如图 3-1） 经过时间 t 后，该质点离 O 点的距离是 t 的函数 ss（t） 求质点 M 在时刻 的瞬时速度0t设在 到 一段时间内距离从 变到 ，在t 这段时间内质点 M 所走的距0tt0ss离为 ,tsts00因此在t 时间内，质点 M 的平均速度为.00ttv若质点作等速运动，平均速度 就是质点 M 在时刻 的瞬时速度 若质点 M 的运动v0t0v是变速的，则 一般不会正好是 的瞬时速度，但t 愈小， 就愈接近 的瞬时速度，所v0 t以当t 0 时， 就可较精确的表示出时刻 的瞬时速度0t因此，我们用极限 tslim t svlimtv 00000 来定义质点 M
5、在时刻 的瞬时速度0t瞬时速度 v 反映了路程函数 s（t）相对时间 t 变化的快慢程度，称为函数 s(t)对于自变量t 的变化率引例 2 切线的斜率解 如图 3-2，求曲线 yf（x）在其上一点 处的切线 PT 的斜率0y,xP点 P 处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着在曲线上任意另取一点 Q，设它的坐标是 ，其中 ，则过点y,x0000xffy.x与 的割线斜率 （即y 对x 的平均变化率）是0y,xQk.ffx00当x 变化时，即点 Q 在曲线上变化时，割线 PQ 的斜率 也随之变化当| x|较小时，k取割线 PQ 的斜率 作为点 P 的切线斜率的近似值当| x| 越小，这个近
6、似程度也就越k好于是，当x 无限趋于 0 时，即点 Q 沿着曲线无限趋于 P 时，割线 PQ 的极限位置就是曲线过点 P 的切线，同时，割线 PQ 的斜率 的极限 k 就是曲线过点 P 的切线斜率（即yf （x）在点 处变化率）即0 .xfflimxylitank 000这样就把求曲线在点 P 处的斜率问题转化成求上面的极限问题引例 3 求电流强度解 设电流通过导线的横截面的电量是 Q（t）,它是时间 t 的函数，求任一时刻 的电流0t强度我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即 .与与在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻 的电流强0t度
7、我们可通过以下方法得到：设在 到 一段时间内通过导线的电量是0t0t .tQt00. t QI为均 电 流 强 度因 此 在 这 段 时 间 内 ， 平 易知，t 取得越小， 就越接近时刻 的电流强度 I若当t0 时， 的极限存在，I0t I则平均电流强度 的极限就是时刻 的电流强度因此，我们定义：I0ttQlimtQliIlittt 0000这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数 f（ x）在某点 处函数的增量
8、与相应的自变量的增量000xffyx（x0）的比值当自变量x 无限趋于 0 时的极限即xfflimxyli 00在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念设函数 yf （x）在点 的某邻域内有定义，当自变量有增量x（x0）时（x 可正可负）函数有相应增量 0xffy若极限 存在，则称函数 f（x）在点 可导，并称该极limxli00 0限值为函数 f（ x）在点 （对 x）的导数，记作 ，即0 )(f0.fli00x也可记作 .,| 000xxdfyxy与若上面的极
9、限不存在，则称函数 f（x）在点 不可导0有时，我们把 记作 x，于是 ，当x0 时，有 ,则上面的00x极限可改为 .000xflimxfx导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻 的0t瞬时速度，只要求出路程函数 s（t）在 的导数即可；要求曲线 yf （x）在点0t处的切线斜率，只要求出函数 f（x）在点 处的导数即可；要求时刻 的电流0xf,P 0 0t强度，只要求出电量函数 Q（t）在 的导数即为所求时刻 的电流强度0tt很明显，函数增量与自变量增量之比 是函数在以 和 为端点的区间上的平xy0x均变化率，
10、而导数 则是函数 yf（x）在点 处的变化率，它反映了函数 f（x）在点0xf处随自变量的变化而变化的快慢程度0x注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数 f（x ）在点处函数的增量 与相应的自变量的增量t（x0）的比值 ，0x0fxfy xy当自变量的增量x 无限趋于 0 时的极限 但极限值并不一定是导数，如 .ylimx0 coslim0t若只讨论函数在点 的左邻域（或右邻域）上的变化率，我们需引入单侧导数的概念上 有 定 义 ， 若 右 极 限,的 某 右 邻 域在 点 xf设 函 数 y00.x,flimxli 00存在，则称 f（ x）在点 右可导，并称该极
11、限为 f（x）在点 的右导数，记作0.xf0若极限 不存在，则称 f（x ）在点 右不可导yli0x 0.,fmf 0右导数与左导数统称为单侧导数由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数 f（x）在点 可导的充要条件是0f（x ）在点 既是左可导又是右可导且左、右导数相等即0.xf00与与与由导数的定义可知，要用定义求 yf（x）的导数 ，可以分为以下三个步骤：0xf(1)求 增 量 ： y00. xlimf(3)取 极 值 ： x2算 比 值 ： 00利用导数定义求导数的难点是有一些比值 的解析式不便于取极限，还需将其变形或y化简，使极限 成为已知极限的形式，以便于计算xyli0例 1
12、求函数 在点 x3 的导数2思路启迪 利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量x（x0 ）时对应的函数的增量y,然后计算y 与x 的比值的极限规范解法 230xy,.x)(取处 的 增 量在 点求26x（2 ）算比值 .x6x6y2（3 ）取极限.limlif0x0x点评 求函数在某点 处的导数，首先应判断函数在点 处是否可导，即极限0 0x是否存在且有限若极限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的 x ym0 导数；若极限不存在或极限为则函数在该点不可导例 2 证明函数 f（x）|x|在点 x0 处不可导思路启迪 首先要求函数 f（ x）在点 x0 处的左、
13、右导数是否存在，若都存在且相等，则 f（x）在 x 0 处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数 f（ x）在点 x0 处不可导规范证法 f因 为.limxff,lifxf ,|xx1001010.xf,ff 处 不 可 导在 点所 以因 为 00点评 判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量y 的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限 ，xylim0而应首先分别判断 f（x）在分段点的两个单侧导数是否存在，即首先判断极限 与极x限 的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性lim0x例 3 .xf
14、2 xflim存 在 ， 则xf证 明 ： 若 000 x0 f思路启迪 已知 存在，也即是极限 存在且等于 ，只0 li00x 0要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成 f（x）在点 处的导数的结构，该题的证明将容0易得到规范证法 .xffxf xfflimlimxfxfli.x 000 00002点评 在导数的结构（定义） 中，函数的增量xffli00x与自变量的增量x 是相应的，即自变量有增量x 时，相应的函数的增00ff量是 ，而在上面第二个极限中，函数的增量 所对应的 00ff自变量的增量是x（而非 x ） ，这一点是至关重要的因此应该有（易知x0 时，x 0 ） .xfxlimff
15、 000x例 4 证明：若函数 f（x）与 g（x ）当 x0 时等于零，并且存在导数，且 则0g.0gfxli0思路启迪 由已知条件，我们有 ，又0xgfgxf0gfx与 存在且 ，故上面分式当 时分子与分母的极限存在且分母的极限0fg0 不为零于是由极限的四则运算即可给出证明规范证法 由已知有 时当存 在 且与 00x.gf,gf,0xgfgxfgf.gf0xglimffli0x 与例 5 设 .f.g.x,sinf 0001 求且 已 知思路启迪 直接利用导数的定义和正弦函数 .xsin的 有 界 性1规范解法 .xsinglimglixflimxxx 100000 .f可 导 且在 点
16、.于 是 ， fx1sin0glim所 以 ,是 有 界 量 ，1又 因 为 sn0x 例 6 设 a续 的 ， 求连a处 是在 x其 中 函 数,af 思路启迪 求 ，即是求极限 即 ，注意到函数f ,fflim0xxlim0x在 xa 处是连续的，即 ，即可得出结果aai0xl规范解法 m .af， 于 是a xlima连 续 ， 故在 x由 于 . 0 0 x 0 x 例 7 此函数在点 a 没有导证 明 ：0,为 连 续 函 数 及其 中,|f 数思路启迪 这里 f（x）是一个分段函数，点 a 是 f（x）的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存
17、在性的关系规范证法 取x0 ，.axaim，ax0,|y0xl与与与.axfaff,a.lixylif .xx 没 有 导 数在 点因 此故由 于于 是 000例 8 设 为了使函数 f（x）于点 处连续而且可导，应当如.xba,xf02 0x何选取系数 a 和 b？思路启迪 由于 是分段函数 f（x）的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可0导，须考虑使如下等式成立： .xff)2( .f010规范解法 20处 可 导 .时 函 数 在 点 x2x当 a a. xbalim blimf 2 xfx又 处 连 续 .在时 ， 函 数a当 balimf0f.xxx00 00x2 020x00x02 0xx200000 b,a故 所 求 的 系 数 为从 而 得 ： 2002
