1、组 合 课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题过程：一、复习回顾：1复习排列和组合的有关内容：定 义 特 点 相同 公 式排 列组 合强调：排列次序性；组合无序性2练习一： 练习 1：求证： （本式也可变形为： ）1mnnC1mnC练习 2：计算： 和 ； 与 ； 310726373514答案： 120，120 20，20 792（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础 ）3练习二： 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ 平面内有 10
2、个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 答案： （组合问题） （排列问题）45210C9021A二、新授：1 组合数的 性质 1： mn理解： 一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，剩下 n m 个元素因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合，与剩下的 n m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出 n m 个元素的组合数，即： 在这里，我们主要nC体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： )!()!()!(nCn 又 mn mC注：1 我们规定 102 等式特点：等式两边下标同，上标
3、之和等于下标3 此性质作用：当 时，计算 可变为计算 ，能够使运算简化2nmnmn例如： =2002201C0102C4 或ynxCnyx2 示例一：（课本 101 例 4）一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球 从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解： 5638C27357C引导学生发现： 为什么呢？3我们可以这样解释：从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球，可以分为两类：一类含有 1 个黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立一般地，从 这
4、 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 ，121,a mnC1这些组合可以分为两类：一类含有元素 ，一类不含有 含有 的组合是从11a1这 n 个元素中取出 m 1 个元素与 组成的，共有 个；不含有132,a mn的组合是从 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，共有 个根据1 132,a C分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想， “含与不含其元素”的分类思想3 组合数的 性质 2： + mnC11mn证明： )!()!(!mn1n)!(!mnC1 + mn1注：1 公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多
5、1 而上标与高的相同的一个组合数2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用4 示例二： 计算： 6958473C 求证： + +nmC21nm2C 解方程： 3213xx 解方程： 33210xxxAC 计算： 和4324104 54352150 CC推广： nnnnC15 组合数性质的简单应用：证明下列等式成立： （讲解） 11321 knkknkn C （练习） 121 knkkkC )(232101 nnnnn CC6处理教学与测试76 课例题三、小结：1组合数的两个性质； 2从特殊到一般的归纳思想四、作业： 课堂作业：教学与测试76 课 课外作业：课本习题 10.3；课课练课时 9
